Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75368 / 54712
↖ ↑ ↗
← N 28.478349°
E 27.004395°		 ← 268.41 m → N 28.478349°
E 27.007141°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.475934°
E 27.004395°		 ← 268.42 m →
72 063 m²		 N 28.475934°
E 27.007141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575016021728516 y=0.417423248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575016021728516 × 217)
    floor (0.575016021728516 × 131072)
    floor (75368.5)     		tx = 75368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417423248291016 × 217)
    floor (0.417423248291016 × 131072)
    floor (54712.5)     		ty = 54712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75368 / 54712 ti = "17/75368/54712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75368/54712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75368 ÷ 217
    75368 ÷ 131072     		x = 0.57501220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54712 ÷ 217
    54712 ÷ 131072     		y = 0.41741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57501220703125 × 2 - 1) × π
    0.1500244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47131560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47131560} λ = 0.47131560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518869001487488))-π/2
    2×atan(1.68012635431287)-π/2
    2×1.03391863849609-π/2
    2.06783727699218-1.57079632675     		φ = 0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47131560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.004395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75368 KachelY 54712 0.47131560 0.49704095 27.004395 28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 75369 KachelY 54712 0.47136353 0.49704095 27.007141 28.478349
    Unten links KachelX 75368 KachelY + 1 54713 0.47131560 0.49699881 27.004395 28.475934
    Unten rechts KachelX + 1 75369 KachelY + 1 54713 0.47136353 0.49699881 27.007141 28.475934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49704095-0.49699881) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dl = 268.473939999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49704095-0.49699881) × R
    4.21399999999683e-05 × 6371000     		dr = 268.473939999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47131560-0.47136353) × cos(0.49704095) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 268.412418799349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47131560-0.47136353) × cos(0.49699881) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.879017454610441 × 6371000     		du = 268.418554345131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49704095)-sin(0.49699881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.879017454610441)×R²
    abs(0.47136353-0.47131560)×2.00926938472845e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.00926938472845e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.00926938472845e-05×40589641000000     		ar = 72062.5632476862m²