Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75366 / 54830
↖ ↑ ↗
← N 28.193085°
E 26.998901°		 ← 269.19 m → N 28.193085°
E 27.001648°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.190664°
E 26.998901°		 ← 269.20 m →
72 460 m²		 N 28.190664°
E 27.001648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575000762939453 y=0.418323516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575000762939453 × 217)
    floor (0.575000762939453 × 131072)
    floor (75366.5)     		tx = 75366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418323516845703 × 217)
    floor (0.418323516845703 × 131072)
    floor (54830.5)     		ty = 54830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75366 / 54830 ti = "17/75366/54830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75366/54830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75366 ÷ 217
    75366 ÷ 131072     		x = 0.574996948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54830 ÷ 217
    54830 ÷ 131072     		y = 0.418319702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574996948242188 × 2 - 1) × π
    0.149993896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47121972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418319702148438 × 2 - 1) × π
    0.163360595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513212447332321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47121972} λ = 0.47121972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513212447332321))-π/2
    2×atan(1.67064945716219)-π/2
    2×1.03142924498878-π/2
    2.06285848997756-1.57079632675     		φ = 0.49206216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47121972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.998901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49206216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.193085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75366 KachelY 54830 0.47121972 0.49206216 26.998901 28.193085
    Oben rechts KachelX + 1 75367 KachelY 54830 0.47126766 0.49206216 27.001648 28.193085
    Unten links KachelX 75366 KachelY + 1 54831 0.47121972 0.49201991 26.998901 28.190664
    Unten rechts KachelX + 1 75367 KachelY + 1 54831 0.47126766 0.49201991 27.001648 28.190664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49206216-0.49201991) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49206216-0.49201991) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47121972-0.47126766) × cos(0.49206216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881360477355136 × 6371000     		do = 269.190176002769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47121972-0.47126766) × cos(0.49201991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881380437344293 × 6371000     		du = 269.196272297228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49206216)-sin(0.49201991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881360477355136-0.881380437344293)×R²
    abs(0.47126766-0.47121972)×1.99599891568258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99599891568258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99599891568258e-05×40589641000000     		ar = 72460.0188230774m²