Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75365 / 54819
↖ ↑ ↗
← N 28.219710°
E 26.996155°		 ← 269.07 m → N 28.219710°
E 26.998901°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 28.217290°
E 26.996155°		 ← 269.07 m →
72 410 m²		 N 28.217290°
E 26.998901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574993133544922 y=0.418239593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574993133544922 × 217)
    floor (0.574993133544922 × 131072)
    floor (75365.5)     		tx = 75365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418239593505859 × 217)
    floor (0.418239593505859 × 131072)
    floor (54819.5)     		ty = 54819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75365 / 54819 ti = "17/75365/54819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75365/54819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75365 ÷ 217
    75365 ÷ 131072     		x = 0.574989318847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54819 ÷ 217
    54819 ÷ 131072     		y = 0.418235778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574989318847656 × 2 - 1) × π
    0.149978637695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47117179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418235778808594 × 2 - 1) × π
    0.163528442382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.513739753228142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47117179} λ = 0.47117179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513739753228142))-π/2
    2×atan(1.67153063277493)-π/2
    2×1.03166158932572-π/2
    2.06332317865144-1.57079632675     		φ = 0.49252685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47117179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.996155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49252685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.219710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75365 KachelY 54819 0.47117179 0.49252685 26.996155 28.219710
    Oben rechts KachelX + 1 75366 KachelY 54819 0.47121972 0.49252685 26.998901 28.219710
    Unten links KachelX 75365 KachelY + 1 54820 0.47117179 0.49248461 26.996155 28.217290
    Unten rechts KachelX + 1 75366 KachelY + 1 54820 0.47121972 0.49248461 26.998901 28.217290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49252685-0.49248461) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dl = 269.11104000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49252685-0.49248461) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dr = 269.11104000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47117179-0.47121972) × cos(0.49252685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881140842016774 × 6371000     		do = 269.066956234316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47117179-0.47121972) × cos(0.49248461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881160814579689 × 6371000     		du = 269.073055096672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49252685)-sin(0.49248461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881140842016774-0.881160814579689)×R²
    abs(0.47121972-0.47117179)×1.99725629149716e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99725629149716e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99725629149716e-05×40589641000000     		ar = 72409.7090682325m²