Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75364 / 55580
↖ ↑ ↗
← N 26.362342°
E 26.993408°		 ← 273.66 m → N 26.362342°
E 26.996155°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
N 26.359881°
E 26.993408°		 ← 273.67 m →
74 884 m²		 N 26.359881°
E 26.996155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574985504150391 y=0.424045562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574985504150391 × 217)
    floor (0.574985504150391 × 131072)
    floor (75364.5)     		tx = 75364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424045562744141 × 217)
    floor (0.424045562744141 × 131072)
    floor (55580.5)     		ty = 55580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75364 / 55580 ti = "17/75364/55580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75364/55580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75364 ÷ 217
    75364 ÷ 131072     		x = 0.574981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55580 ÷ 217
    55580 ÷ 131072     		y = 0.424041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574981689453125 × 2 - 1) × π
    0.14996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47112385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424041748046875 × 2 - 1) × π
    0.15191650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.477259772617279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47112385} λ = 0.47112385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477259772617279))-π/2
    2×atan(1.61165205275223)-π/2
    2×1.01545299721186-π/2
    2.03090599442372-1.57079632675     		φ = 0.46010967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47112385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.993408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46010967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.362342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75364 KachelY 55580 0.47112385 0.46010967 26.993408 26.362342
    Oben rechts KachelX + 1 75365 KachelY 55580 0.47117179 0.46010967 26.996155 26.362342
    Unten links KachelX 75364 KachelY + 1 55581 0.47112385 0.46006672 26.993408 26.359881
    Unten rechts KachelX + 1 75365 KachelY + 1 55581 0.47117179 0.46006672 26.996155 26.359881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46010967-0.46006672) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46010967-0.46006672) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47112385-0.47117179) × cos(0.46010967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896003804348092 × 6371000     		do = 273.662624985652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47112385-0.47117179) × cos(0.46006672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896022875313435 × 6371000     		du = 273.668449749354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46010967)-sin(0.46006672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896003804348092-0.896022875313435)×R²
    abs(0.47117179-0.47112385)×1.90709653432597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90709653432597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90709653432597e-05×40589641000000     		ar = 74884.3188130879m²