Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75362 / 54883
↖ ↑ ↗
← N 28.064710°
E 26.987915°		 ← 269.46 m → N 28.064710°
E 26.990661°		 →
↑
269.49 m
↓
↑
269.49 m
↓
N 28.062286°
E 26.987915°		 ← 269.46 m →
72 618 m²		 N 28.062286°
E 26.990661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574970245361328 y=0.418727874755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574970245361328 × 217)
    floor (0.574970245361328 × 131072)
    floor (75362.5)     		tx = 75362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418727874755859 × 217)
    floor (0.418727874755859 × 131072)
    floor (54883.5)     		ty = 54883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75362 / 54883 ti = "17/75362/54883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75362/54883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75362 ÷ 217
    75362 ÷ 131072     		x = 0.574966430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54883 ÷ 217
    54883 ÷ 131072     		y = 0.418724060058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574966430664062 × 2 - 1) × π
    0.149932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47102798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418724060058594 × 2 - 1) × π
    0.162551879882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.510671791652458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47102798} λ = 0.47102798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510671791652458))-π/2
    2×atan(1.66641029953003)-π/2
    2×1.03030895695905-π/2
    2.06061791391809-1.57079632675     		φ = 0.48982159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47102798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.987915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48982159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.064710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75362 KachelY 54883 0.47102798 0.48982159 26.987915 28.064710
    Oben rechts KachelX + 1 75363 KachelY 54883 0.47107591 0.48982159 26.990661 28.064710
    Unten links KachelX 75362 KachelY + 1 54884 0.47102798 0.48977929 26.987915 28.062286
    Unten rechts KachelX + 1 75363 KachelY + 1 54884 0.47107591 0.48977929 26.990661 28.062286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48982159-0.48977929) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dl = 269.493299999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48982159-0.48977929) × R
    4.22999999999951e-05 × 6371000     		dr = 269.493299999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47102798-0.47107591) × cos(0.48982159) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882416808932001 × 6371000     		do = 269.456588081451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47102798-0.47107591) × cos(0.48977929) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		du = 269.462664793957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48982159)-sin(0.48977929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882416808932001-0.882436708958559)×R²
    abs(0.47107591-0.47102798)×1.99000265577176e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99000265577176e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99000265577176e-05×40589641000000     		ar = 72617.5639563395m²