Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7536 / 4998
↖ ↑ ↗
← N 57.255281°
W 14.414063°		 ← 1 321.56 m → N 57.255281°
W 14.392090°		 →
↑
1 321.79 m
↓
↑
1 321.79 m
↓
N 57.243393°
W 14.414063°		 ← 1 321.99 m →
1 747 111 m²		 N 57.243393°
W 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459991455078125 y=0.305084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459991455078125 × 214)
    floor (0.459991455078125 × 16384)
    floor (7536.5)     		tx = 7536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305084228515625 × 214)
    floor (0.305084228515625 × 16384)
    floor (4998.5)     		ty = 4998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7536 / 4998 ti = "14/7536/4998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7536/4998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7536 ÷ 214
    7536 ÷ 16384     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4998 ÷ 214
    4998 ÷ 16384     		y = 0.3050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3050537109375 × 2 - 1) × π
    0.389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22488365909167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22488365909167))-π/2
    2×atan(3.40377006205381)-π/2
    2×1.28504474322215-π/2
    2.57008948644431-1.57079632675     		φ = 0.99929316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99929316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.255281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7536 KachelY 4998 -0.25157285 0.99929316 -14.414063 57.255281
    Oben rechts KachelX + 1 7537 KachelY 4998 -0.25118935 0.99929316 -14.392090 57.255281
    Unten links KachelX 7536 KachelY + 1 4999 -0.25157285 0.99908569 -14.414063 57.243393
    Unten rechts KachelX + 1 7537 KachelY + 1 4999 -0.25118935 0.99908569 -14.392090 57.243393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99929316-0.99908569) × R
    0.000207469999999987 × 6371000     		dl = 1321.79136999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99929316-0.99908569) × R
    0.000207469999999987 × 6371000     		dr = 1321.79136999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.25118935) × cos(0.99929316) × R
    0.000383500000000037 × 0.540896956195847 × 6371000     		do = 1321.56190378888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.25118935) × cos(0.99908569) × R
    0.000383500000000037 × 0.541071445260774 × 6371000     		du = 1321.9882291697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99929316)-sin(0.99908569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540896956195847-0.541071445260774)×R²
    abs(-0.25118935--0.25157285)×0.000174489064926564×R²
    0.000383500000000037×0.000174489064926564×6371000²
    0.000383500000000037×0.000174489064926564×40589641000000     		ar = 1747110.88222017m²