Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7536 / 3760
↖ ↑ ↗
← N 69.287257°
W 14.414063°		 ← 864.15 m → N 69.287257°
W 14.392090°		 →
↑
864.29 m
↓
↑
864.29 m
↓
N 69.279484°
W 14.414063°		 ← 864.46 m →
747 006 m²		 N 69.279484°
W 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459991455078125 y=0.229522705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459991455078125 × 214)
    floor (0.459991455078125 × 16384)
    floor (7536.5)     		tx = 7536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229522705078125 × 214)
    floor (0.229522705078125 × 16384)
    floor (3760.5)     		ty = 3760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7536 / 3760 ti = "14/7536/3760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7536/3760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7536 ÷ 214
    7536 ÷ 16384     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3760 ÷ 214
    3760 ÷ 16384     		y = 0.2294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2294921875 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69965071292871))-π/2
    2×atan(5.47203574655026)-π/2
    2×1.39004354512992-π/2
    2.78008709025984-1.57079632675     		φ = 1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7536 KachelY 3760 -0.25157285 1.20929076 -14.414063 69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 7537 KachelY 3760 -0.25118935 1.20929076 -14.392090 69.287257
    Unten links KachelX 7536 KachelY + 1 3761 -0.25157285 1.20915510 -14.414063 69.279484
    Unten rechts KachelX + 1 7537 KachelY + 1 3761 -0.25118935 1.20915510 -14.392090 69.279484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20929076-1.20915510) × R
    0.000135659999999982 × 6371000     		dl = 864.289859999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20929076-1.20915510) × R
    0.000135659999999982 × 6371000     		dr = 864.289859999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.25118935) × cos(1.20929076) × R
    0.000383500000000037 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 864.1457977017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.25118935) × cos(1.20915510) × R
    0.000383500000000037 × 0.353809777082489 × 6371000     		du = 864.45582143552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20929076)-sin(1.20915510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353809777082489)×R²
    abs(-0.25118935--0.25157285)×0.00012688841399805×R²
    0.000383500000000037×0.00012688841399805×6371000²
    0.000383500000000037×0.00012688841399805×40589641000000     		ar = 747006.426844475m²