Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7536 / 1842
↖ ↑ ↗
← N 69.869892°
E151.171875°		 ← 1 681.70 m → N 69.869892°
E151.215821°		 →
↑
1 682.33 m
↓
↑
1 682.33 m
↓
N 69.854762°
E151.171875°		 ← 1 682.91 m →
2 830 190 m²		 N 69.854762°
E151.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91998291015625 y=0.22491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91998291015625 × 213)
    floor (0.91998291015625 × 8192)
    floor (7536.5)     		tx = 7536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22491455078125 × 213)
    floor (0.22491455078125 × 8192)
    floor (1842.5)     		ty = 1842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7536 / 1842 ti = "13/7536/1842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7536/1842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7536 ÷ 213
    7536 ÷ 8192     		x = 0.919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1842 ÷ 213
    1842 ÷ 8192     		y = 0.224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919921875 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63844696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224853515625 × 2 - 1) × π
    0.55029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72879634789771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63844696} λ = 2.63844696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72879634789771))-π/2
    2×atan(5.63386860788296)-π/2
    2×1.3951279913105-π/2
    2.79025598262099-1.57079632675     		φ = 1.21945966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63844696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21945966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.869892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7536 KachelY 1842 2.63844696 1.21945966 151.171875 69.869892
    Oben rechts KachelX + 1 7537 KachelY 1842 2.63921395 1.21945966 151.215821 69.869892
    Unten links KachelX 7536 KachelY + 1 1843 2.63844696 1.21919560 151.171875 69.854762
    Unten rechts KachelX + 1 7537 KachelY + 1 1843 2.63921395 1.21919560 151.215821 69.854762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21945966-1.21919560) × R
    0.000264060000000121 × 6371000     		dl = 1682.32626000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21945966-1.21919560) × R
    0.000264060000000121 × 6371000     		dr = 1682.32626000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63844696-2.63921395) × cos(1.21945966) × R
    0.000766989999999801 × 0.344153129070886 × 6371000     		do = 1681.70195593695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63844696-2.63921395) × cos(1.21919560) × R
    0.000766989999999801 × 0.344401046577212 × 6371000     		du = 1682.91340316809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21945966)-sin(1.21919560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344153129070886-0.344401046577212)×R²
    abs(2.63921395-2.63844696)×0.000247917506325468×R²
    0.000766989999999801×0.000247917506325468×6371000²
    0.000766989999999801×0.000247917506325468×40589641000000     		ar = 2830190.40315868m²