Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75358 / 55482
↖ ↑ ↗
← N 26.603263°
E 26.976929°		 ← 273.03 m → N 26.603263°
E 26.979675°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.600807°
E 26.976929°		 ← 273.04 m →
74 555 m²		 N 26.600807°
E 26.979675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574939727783203 y=0.423297882080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574939727783203 × 217)
    floor (0.574939727783203 × 131072)
    floor (75358.5)     		tx = 75358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423297882080078 × 217)
    floor (0.423297882080078 × 131072)
    floor (55482.5)     		ty = 55482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75358 / 55482 ti = "17/75358/55482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75358/55482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75358 ÷ 217
    75358 ÷ 131072     		x = 0.574935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55482 ÷ 217
    55482 ÷ 131072     		y = 0.423294067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574935913085938 × 2 - 1) × π
    0.149871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47083623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423294067382812 × 2 - 1) × π
    0.153411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481957588780045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47083623} λ = 0.47083623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481957588780045))-π/2
    2×atan(1.61924110985476)-π/2
    2×1.01755542793777-π/2
    2.03511085587554-1.57079632675     		φ = 0.46431453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47083623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.976929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46431453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.603263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75358 KachelY 55482 0.47083623 0.46431453 26.976929 26.603263
    Oben rechts KachelX + 1 75359 KachelY 55482 0.47088416 0.46431453 26.979675 26.603263
    Unten links KachelX 75358 KachelY + 1 55483 0.47083623 0.46427167 26.976929 26.600807
    Unten rechts KachelX + 1 75359 KachelY + 1 55483 0.47088416 0.46427167 26.979675 26.600807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46431453-0.46427167) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46431453-0.46427167) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47083623-0.47088416) × cos(0.46431453) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894128735970788 × 6371000     		do = 273.032965897225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47083623-0.47088416) × cos(0.46427167) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894147928286488 × 6371000     		du = 273.038826501707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46431453)-sin(0.46427167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894128735970788-0.894147928286488)×R²
    abs(0.47088416-0.47083623)×1.9192315700689e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9192315700689e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9192315700689e-05×40589641000000     		ar = 74555.471245594m²