Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75357 / 54892
↖ ↑ ↗
← N 28.042895°
E 26.974182°		 ← 269.57 m → N 28.042895°
E 26.976929°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.040471°
E 26.974182°		 ← 269.57 m →
72 665 m²		 N 28.040471°
E 26.976929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574932098388672 y=0.418796539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574932098388672 × 217)
    floor (0.574932098388672 × 131072)
    floor (75357.5)     		tx = 75357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418796539306641 × 217)
    floor (0.418796539306641 × 131072)
    floor (54892.5)     		ty = 54892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75357 / 54892 ti = "17/75357/54892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75357/54892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75357 ÷ 217
    75357 ÷ 131072     		x = 0.574928283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54892 ÷ 217
    54892 ÷ 131072     		y = 0.418792724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574928283691406 × 2 - 1) × π
    0.149856567382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47078829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418792724609375 × 2 - 1) × π
    0.16241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.510240359555878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47078829} λ = 0.47078829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510240359555878))-π/2
    2×atan(1.66569151170596)-π/2
    2×1.03011858617677-π/2
    2.06023717235353-1.57079632675     		φ = 0.48944085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47078829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.974182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48944085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.042895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75357 KachelY 54892 0.47078829 0.48944085 26.974182 28.042895
    Oben rechts KachelX + 1 75358 KachelY 54892 0.47083623 0.48944085 26.976929 28.042895
    Unten links KachelX 75357 KachelY + 1 54893 0.47078829 0.48939854 26.974182 28.040471
    Unten rechts KachelX + 1 75358 KachelY + 1 54893 0.47083623 0.48939854 26.976929 28.040471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48944085-0.48939854) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48944085-0.48939854) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47078829-0.47083623) × cos(0.48944085) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882595871131663 × 6371000     		do = 269.567497061468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47078829-0.47083623) × cos(0.48939854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882615761645981 × 6371000     		du = 269.573572136523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48944085)-sin(0.48939854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882595871131663-0.882615761645981)×R²
    abs(0.47083623-0.47078829)×1.98905143174999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98905143174999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98905143174999e-05×40589641000000     		ar = 72664.627301406m²