Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7535 / 3762
↖ ↑ ↗
← N 69.271708°
W 14.436035°		 ← 864.74 m → N 69.271708°
W 14.414063°		 →
↑
864.86 m
↓
↑
864.86 m
↓
N 69.263930°
W 14.436035°		 ← 865.05 m →
748 019 m²		 N 69.263930°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459930419921875 y=0.229644775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459930419921875 × 214)
    floor (0.459930419921875 × 16384)
    floor (7535.5)     		tx = 7535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229644775390625 × 214)
    floor (0.229644775390625 × 16384)
    floor (3762.5)     		ty = 3762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7535 / 3762 ti = "14/7535/3762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7535/3762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7535 ÷ 214
    7535 ÷ 16384     		x = 0.45989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3762 ÷ 214
    3762 ÷ 16384     		y = 0.2296142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45989990234375 × 2 - 1) × π
    -0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2296142578125 × 2 - 1) × π
    0.540771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69888372253479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25195634} λ = -0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69888372253479))-π/2
    2×atan(5.46784035681495)-π/2
    2×1.38990786077852-π/2
    2.77981572155703-1.57079632675     		φ = 1.20901939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20901939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.271708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7535 KachelY 3762 -0.25195634 1.20901939 -14.436035 69.271708
    Oben rechts KachelX + 1 7536 KachelY 3762 -0.25157285 1.20901939 -14.414063 69.271708
    Unten links KachelX 7535 KachelY + 1 3763 -0.25195634 1.20888364 -14.436035 69.263930
    Unten rechts KachelX + 1 7536 KachelY + 1 3763 -0.25157285 1.20888364 -14.414063 69.263930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20901939-1.20888364) × R
    0.000135749999999879 × 6371000     		dl = 864.863249999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20901939-1.20888364) × R
    0.000135749999999879 × 6371000     		dr = 864.863249999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25195634--0.25157285) × cos(1.20901939) × R
    0.000383489999999986 × 0.35393670574857 × 6371000     		do = 864.743394208754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25195634--0.25157285) × cos(1.20888364) × R
    0.000383489999999986 × 0.35406366530498 × 6371000     		du = 865.053583674706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20901939)-sin(1.20888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35393670574857-0.35406366530498)×R²
    abs(-0.25157285--0.25195634)×0.000126959556409678×R²
    0.000383489999999986×0.000126959556409678×6371000²
    0.000383489999999986×0.000126959556409678×40589641000000     		ar = 748018.919213965m²