Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7535 / 1837
↖ ↑ ↗
← N 69.945375°
E151.127929°		 ← 1 675.68 m → N 69.945375°
E151.171875°		 →
↑
1 676.21 m
↓
↑
1 676.21 m
↓
N 69.930300°
E151.127929°		 ← 1 676.89 m →
2 809 801 m²		 N 69.930300°
E151.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91986083984375 y=0.22430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91986083984375 × 213)
    floor (0.91986083984375 × 8192)
    floor (7535.5)     		tx = 7535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22430419921875 × 213)
    floor (0.22430419921875 × 8192)
    floor (1837.5)     		ty = 1837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7535 / 1837 ti = "13/7535/1837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7535/1837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7535 ÷ 213
    7535 ÷ 8192     		x = 0.9197998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1837 ÷ 213
    1837 ÷ 8192     		y = 0.2242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9197998046875 × 2 - 1) × π
    0.839599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63767996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2242431640625 × 2 - 1) × π
    0.551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73263129986731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63767996} λ = 2.63767996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73263129986731))-π/2
    2×atan(5.6555157046554)-π/2
    2×1.39578670985527-π/2
    2.79157341971053-1.57079632675     		φ = 1.22077709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63767996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22077709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.945375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7535 KachelY 1837 2.63767996 1.22077709 151.127929 69.945375
    Oben rechts KachelX + 1 7536 KachelY 1837 2.63844696 1.22077709 151.171875 69.945375
    Unten links KachelX 7535 KachelY + 1 1838 2.63767996 1.22051399 151.127929 69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 7536 KachelY + 1 1838 2.63844696 1.22051399 151.171875 69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22077709-1.22051399) × R
    0.000263099999999961 × 6371000     		dl = 1676.21009999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22077709-1.22051399) × R
    0.000263099999999961 × 6371000     		dr = 1676.21009999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63767996-2.63844696) × cos(1.22077709) × R
    0.000767000000000184 × 0.342915877912213 × 6371000     		do = 1675.67798362347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63767996-2.63844696) × cos(1.22051399) × R
    0.000767000000000184 × 0.343163013265997 × 6371000     		du = 1676.88562461645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22077709)-sin(1.22051399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342915877912213-0.343163013265997)×R²
    abs(2.63844696-2.63767996)×0.000247135353783901×R²
    0.000767000000000184×0.000247135353783901×6371000²
    0.000767000000000184×0.000247135353783901×40589641000000     		ar = 2809800.50672028m²