Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75347 / 54877
↖ ↑ ↗
← N 28.079250°
E 26.946716°		 ← 269.48 m → N 28.079250°
E 26.949463°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.076827°
E 26.946716°		 ← 269.48 m →
72 606 m²		 N 28.076827°
E 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574855804443359 y=0.418682098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574855804443359 × 217)
    floor (0.574855804443359 × 131072)
    floor (75347.5)     		tx = 75347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418682098388672 × 217)
    floor (0.418682098388672 × 131072)
    floor (54877.5)     		ty = 54877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75347 / 54877 ti = "17/75347/54877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75347/54877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75347 ÷ 217
    75347 ÷ 131072     		x = 0.574851989746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54877 ÷ 217
    54877 ÷ 131072     		y = 0.418678283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574851989746094 × 2 - 1) × π
    0.149703979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47030892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418678283691406 × 2 - 1) × π
    0.162643432617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.510959413050179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47030892} λ = 0.47030892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510959413050179))-π/2
    2×atan(1.66688966372396)-π/2
    2×1.03043584935033-π/2
    2.06087169870066-1.57079632675     		φ = 0.49007537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47030892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.946716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49007537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.079250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75347 KachelY 54877 0.47030892 0.49007537 26.946716 28.079250
    Oben rechts KachelX + 1 75348 KachelY 54877 0.47035686 0.49007537 26.949463 28.079250
    Unten links KachelX 75347 KachelY + 1 54878 0.47030892 0.49003308 26.946716 28.076827
    Unten rechts KachelX + 1 75348 KachelY + 1 54878 0.47035686 0.49003308 26.949463 28.076827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49007537-0.49003308) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49007537-0.49003308) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47030892-0.47035686) × cos(0.49007537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882297385030857 × 6371000     		do = 269.476331722938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47030892-0.47035686) × cos(0.49003308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882317289822981 × 6371000     		du = 269.482411158802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49007537)-sin(0.49003308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882297385030857-0.882317289822981)×R²
    abs(0.47035686-0.47030892)×1.99047921238815e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99047921238815e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99047921238815e-05×40589641000000     		ar = 72605.7165715871m²