Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75345 / 56881
↖ ↑ ↗
← N 23.117628°
E 26.941223°		 ← 280.90 m → N 23.117628°
E 26.943970°		 →
↑
280.90 m
↓
↑
280.90 m
↓
N 23.115102°
E 26.941223°		 ← 280.91 m →
78 905 m²		 N 23.115102°
E 26.943970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574840545654297 y=0.433971405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574840545654297 × 217)
    floor (0.574840545654297 × 131072)
    floor (75345.5)     		tx = 75345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433971405029297 × 217)
    floor (0.433971405029297 × 131072)
    floor (56881.5)     		ty = 56881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75345 / 56881 ti = "17/75345/56881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75345/56881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75345 ÷ 217
    75345 ÷ 131072     		x = 0.574836730957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56881 ÷ 217
    56881 ÷ 131072     		y = 0.433967590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574836730957031 × 2 - 1) × π
    0.149673461914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47021305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433967590332031 × 2 - 1) × π
    0.132064819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.414893866211586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47021305} λ = 0.47021305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414893866211586))-π/2
    2×atan(1.5142100233172)-π/2
    2×0.987137521930979-π/2
    1.97427504386196-1.57079632675     		φ = 0.40347872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47021305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.941223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40347872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.117628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75345 KachelY 56881 0.47021305 0.40347872 26.941223 23.117628
    Oben rechts KachelX + 1 75346 KachelY 56881 0.47026099 0.40347872 26.943970 23.117628
    Unten links KachelX 75345 KachelY + 1 56882 0.47021305 0.40343463 26.941223 23.115102
    Unten rechts KachelX + 1 75346 KachelY + 1 56882 0.47026099 0.40343463 26.943970 23.115102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40347872-0.40343463) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dl = 280.897389999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40347872-0.40343463) × R
    4.40899999999966e-05 × 6371000     		dr = 280.897389999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47021305-0.47026099) × cos(0.40347872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919700746258506 × 6371000     		do = 280.900281004372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47021305-0.47026099) × cos(0.40343463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919718055984479 × 6371000     		du = 280.905567840237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40347872)-sin(0.40343463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919700746258506-0.919718055984479)×R²
    abs(0.47026099-0.47021305)×1.73097259732469e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73097259732469e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73097259732469e-05×40589641000000     		ar = 78904.8983263941m²