Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75344 / 55694
↖ ↑ ↗
← N 26.081454°
E 26.938476°		 ← 274.32 m → N 26.081454°
E 26.941223°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
N 26.078988°
E 26.938476°		 ← 274.33 m →
75 240 m²		 N 26.078988°
E 26.941223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574832916259766 y=0.424915313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574832916259766 × 217)
    floor (0.574832916259766 × 131072)
    floor (75344.5)     		tx = 75344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424915313720703 × 217)
    floor (0.424915313720703 × 131072)
    floor (55694.5)     		ty = 55694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75344 / 55694 ti = "17/75344/55694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75344/55694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75344 ÷ 217
    75344 ÷ 131072     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55694 ÷ 217
    55694 ÷ 131072     		y = 0.424911499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424911499023438 × 2 - 1) × π
    0.150177001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.471794966060593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471794966060593))-π/2
    2×atan(1.60286870754738)-π/2
    2×1.01300179039722-π/2
    2.02600358079444-1.57079632675     		φ = 0.45520725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45520725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.081454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75344 KachelY 55694 0.47016511 0.45520725 26.938476 26.081454
    Oben rechts KachelX + 1 75345 KachelY 55694 0.47021305 0.45520725 26.941223 26.081454
    Unten links KachelX 75344 KachelY + 1 55695 0.47016511 0.45516420 26.938476 26.078988
    Unten rechts KachelX + 1 75345 KachelY + 1 55695 0.47021305 0.45516420 26.941223 26.078988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45520725-0.45516420) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45520725-0.45516420) × R
    4.30499999999889e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47021305) × cos(0.45520725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89816993032337 × 6371000     		do = 274.324215614902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47021305) × cos(0.45516420) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.898188856357663 × 6371000     		du = 274.329996112931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45520725)-sin(0.45516420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89816993032337-0.898188856357663)×R²
    abs(0.47021305-0.47016511)×1.89260342927655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89260342927655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89260342927655e-05×40589641000000     		ar = 75240.1205438911m²