Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75343 / 56947
↖ ↑ ↗
← N 22.950806°
E 26.935730°		 ← 281.25 m → N 22.950806°
E 26.938476°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
N 22.948277°
E 26.935730°		 ← 281.25 m →
79 092 m²		 N 22.948277°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574825286865234 y=0.434474945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574825286865234 × 217)
    floor (0.574825286865234 × 131072)
    floor (75343.5)     		tx = 75343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434474945068359 × 217)
    floor (0.434474945068359 × 131072)
    floor (56947.5)     		ty = 56947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75343 / 56947 ti = "17/75343/56947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75343/56947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75343 ÷ 217
    75343 ÷ 131072     		x = 0.574821472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56947 ÷ 217
    56947 ÷ 131072     		y = 0.434471130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574821472167969 × 2 - 1) × π
    0.149642944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47011717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434471130371094 × 2 - 1) × π
    0.131057739257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.411730030836662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47011717} λ = 0.47011717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.411730030836662))-π/2
    2×atan(1.50942688260513)-π/2
    2×0.985681729111392-π/2
    1.97136345822278-1.57079632675     		φ = 0.40056713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47011717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.935730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40056713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.950806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75343 KachelY 56947 0.47011717 0.40056713 26.935730 22.950806
    Oben rechts KachelX + 1 75344 KachelY 56947 0.47016511 0.40056713 26.938476 22.950806
    Unten links KachelX 75343 KachelY + 1 56948 0.47011717 0.40052299 26.935730 22.948277
    Unten rechts KachelX + 1 75344 KachelY + 1 56948 0.47016511 0.40052299 26.938476 22.948277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40056713-0.40052299) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dl = 281.215939999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40056713-0.40052299) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dr = 281.215939999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47011717-0.47016511) × cos(0.40056713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920839995066866 × 6371000     		do = 281.248236915035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47011717-0.47016511) × cos(0.40052299) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920857206149699 × 6371000     		du = 281.253493622746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40056713)-sin(0.40052299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920839995066866-0.920857206149699)×R²
    abs(0.47016511-0.47011717)×1.72110828325911e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72110828325911e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72110828325911e-05×40589641000000     		ar = 79092.2264652111m²