Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75343 / 54911
↖ ↑ ↗
← N 27.996826°
E 26.935730°		 ← 269.68 m → N 27.996826°
E 26.938476°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
N 27.994402°
E 26.935730°		 ← 269.69 m →
72 713 m²		 N 27.994402°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574825286865234 y=0.418941497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574825286865234 × 217)
    floor (0.574825286865234 × 131072)
    floor (75343.5)     		tx = 75343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418941497802734 × 217)
    floor (0.418941497802734 × 131072)
    floor (54911.5)     		ty = 54911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75343 / 54911 ti = "17/75343/54911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75343/54911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75343 ÷ 217
    75343 ÷ 131072     		x = 0.574821472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54911 ÷ 217
    54911 ÷ 131072     		y = 0.418937683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574821472167969 × 2 - 1) × π
    0.149642944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47011717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418937683105469 × 2 - 1) × π
    0.162124633789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.509329558463097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47011717} λ = 0.47011717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509329558463097))-π/2
    2×atan(1.66417508874154)-π/2
    2×1.02971656551125-π/2
    2.05943313102251-1.57079632675     		φ = 0.48863680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47011717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.935730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48863680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.996826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75343 KachelY 54911 0.47011717 0.48863680 26.935730 27.996826
    Oben rechts KachelX + 1 75344 KachelY 54911 0.47016511 0.48863680 26.938476 27.996826
    Unten links KachelX 75343 KachelY + 1 54912 0.47011717 0.48859448 26.935730 27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 75344 KachelY + 1 54912 0.47016511 0.48859448 26.938476 27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48863680-0.48859448) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48863680-0.48859448) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47011717-0.47016511) × cos(0.48863680) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882973595796443 × 6371000     		do = 269.682863896725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47011717-0.47016511) × cos(0.48859448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 269.688931232824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48863680)-sin(0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882973595796443-0.882993460972506)×R²
    abs(0.47016511-0.47011717)×1.98651760631163e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98651760631163e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98651760631163e-05×40589641000000     		ar = 72712.9058860895m²