Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75341 / 54917
↖ ↑ ↗
← N 27.982275°
E 26.930237°		 ← 269.72 m → N 27.982275°
E 26.932984°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
N 27.979849°
E 26.930237°		 ← 269.73 m →
72 757 m²		 N 27.979849°
E 26.932984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574810028076172 y=0.418987274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574810028076172 × 217)
    floor (0.574810028076172 × 131072)
    floor (75341.5)     		tx = 75341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418987274169922 × 217)
    floor (0.418987274169922 × 131072)
    floor (54917.5)     		ty = 54917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75341 / 54917 ti = "17/75341/54917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75341/54917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75341 ÷ 217
    75341 ÷ 131072     		x = 0.574806213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54917 ÷ 217
    54917 ÷ 131072     		y = 0.418983459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574806213378906 × 2 - 1) × π
    0.149612426757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47002130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418983459472656 × 2 - 1) × π
    0.162033081054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.509041937065376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47002130} λ = 0.47002130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509041937065376))-π/2
    2×atan(1.6636965052052)-π/2
    2×1.02958957589039-π/2
    2.05917915178079-1.57079632675     		φ = 0.48838283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47002130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.930237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48838283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.982275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75341 KachelY 54917 0.47002130 0.48838283 26.930237 27.982275
    Oben rechts KachelX + 1 75342 KachelY 54917 0.47006924 0.48838283 26.932984 27.982275
    Unten links KachelX 75341 KachelY + 1 54918 0.47002130 0.48834049 26.930237 27.979849
    Unten rechts KachelX + 1 75342 KachelY + 1 54918 0.47006924 0.48834049 26.932984 27.979849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48838283-0.48834049) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48838283-0.48834049) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47002130-0.47006924) × cos(0.48838283) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883092786590644 × 6371000     		do = 269.719267833245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47002130-0.47006924) × cos(0.48834049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883112651658971 × 6371000     		du = 269.725335136439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48838283)-sin(0.48834049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883092786590644-0.883112651658971)×R²
    abs(0.47006924-0.47002130)×1.98650683265189e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98650683265189e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98650683265189e-05×40589641000000     		ar = 72757.0891529088m²