Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75340 / 55612
↖ ↑ ↗
← N 26.283565°
E 26.927490°		 ← 273.85 m → N 26.283565°
E 26.930237°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.281103°
E 26.927490°		 ← 273.85 m →
74 988 m²		 N 26.281103°
E 26.930237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574802398681641 y=0.424289703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574802398681641 × 217)
    floor (0.574802398681641 × 131072)
    floor (75340.5)     		tx = 75340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424289703369141 × 217)
    floor (0.424289703369141 × 131072)
    floor (55612.5)     		ty = 55612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75340 / 55612 ti = "17/75340/55612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75340/55612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75340 ÷ 217
    75340 ÷ 131072     		x = 0.574798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55612 ÷ 217
    55612 ÷ 131072     		y = 0.424285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574798583984375 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46997336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424285888671875 × 2 - 1) × π
    0.15142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.475725791829437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46997336} λ = 0.46997336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475725791829437))-π/2
    2×atan(1.60918170468428)-π/2
    2×1.01476553700855-π/2
    2.0295310740171-1.57079632675     		φ = 0.45873475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46997336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.927490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45873475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.283565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75340 KachelY 55612 0.46997336 0.45873475 26.927490 26.283565
    Oben rechts KachelX + 1 75341 KachelY 55612 0.47002130 0.45873475 26.930237 26.283565
    Unten links KachelX 75340 KachelY + 1 55613 0.46997336 0.45869177 26.927490 26.281103
    Unten rechts KachelX + 1 75341 KachelY + 1 55613 0.47002130 0.45869177 26.930237 26.281103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45873475-0.45869177) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45873475-0.45869177) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46997336-0.47002130) × cos(0.45873475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896613485491882 × 6371000     		do = 273.848837300158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46997336-0.47002130) × cos(0.45869177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896632516810372 × 6371000     		du = 273.854649954691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45873475)-sin(0.45869177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896613485491882-0.896632516810372)×R²
    abs(0.47002130-0.46997336)×1.90313184897928e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90313184897928e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90313184897928e-05×40589641000000     		ar = 74987.6125443953m²