Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75340 / 54871
↖ ↑ ↗
← N 28.093789°
E 26.927490°		 ← 269.44 m → N 28.093789°
E 26.930237°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.091366°
E 26.927490°		 ← 269.45 m →
72 596 m²		 N 28.091366°
E 26.930237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574802398681641 y=0.418636322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574802398681641 × 217)
    floor (0.574802398681641 × 131072)
    floor (75340.5)     		tx = 75340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418636322021484 × 217)
    floor (0.418636322021484 × 131072)
    floor (54871.5)     		ty = 54871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75340 / 54871 ti = "17/75340/54871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75340/54871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75340 ÷ 217
    75340 ÷ 131072     		x = 0.574798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54871 ÷ 217
    54871 ÷ 131072     		y = 0.418632507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574798583984375 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46997336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418632507324219 × 2 - 1) × π
    0.162734985351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.511247034447899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46997336} λ = 0.46997336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511247034447899))-π/2
    2×atan(1.66736916581311)-π/2
    2×1.03056272456393-π/2
    2.06112544912786-1.57079632675     		φ = 0.49032912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46997336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.927490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49032912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.093789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75340 KachelY 54871 0.46997336 0.49032912 26.927490 28.093789
    Oben rechts KachelX + 1 75341 KachelY 54871 0.47002130 0.49032912 26.930237 28.093789
    Unten links KachelX 75340 KachelY + 1 54872 0.46997336 0.49028683 26.927490 28.091366
    Unten rechts KachelX + 1 75341 KachelY + 1 54872 0.47002130 0.49028683 26.930237 28.091366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49032912-0.49028683) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49032912-0.49028683) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46997336-0.47002130) × cos(0.49032912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882177918433467 × 6371000     		do = 269.439843549025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46997336-0.47002130) × cos(0.49028683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882197832693067 × 6371000     		du = 269.4459258765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49032912)-sin(0.49028683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882177918433467-0.882197832693067)×R²
    abs(0.47002130-0.46997336)×1.99142596001289e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99142596001289e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99142596001289e-05×40589641000000     		ar = 72595.8859674711m²