Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7534 / 5027
↖ ↑ ↗
← N 56.909002°
W 14.458008°		 ← 1 333.96 m → N 56.909002°
W 14.436035°		 →
↑
1 334.15 m
↓
↑
1 334.15 m
↓
N 56.897004°
W 14.458008°		 ← 1 334.39 m →
1 779 987 m²		 N 56.897004°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459869384765625 y=0.306854248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459869384765625 × 214)
    floor (0.459869384765625 × 16384)
    floor (7534.5)     		tx = 7534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306854248046875 × 214)
    floor (0.306854248046875 × 16384)
    floor (5027.5)     		ty = 5027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7534 / 5027 ti = "14/7534/5027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7534/5027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7534 ÷ 214
    7534 ÷ 16384     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5027 ÷ 214
    5027 ÷ 16384     		y = 0.30682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30682373046875 × 2 - 1) × π
    0.3863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21376229837982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21376229837982))-π/2
    2×atan(3.36612522631868)-π/2
    2×1.28202289518019-π/2
    2.56404579036038-1.57079632675     		φ = 0.99324946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99324946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.909002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7534 KachelY 5027 -0.25233984 0.99324946 -14.458008 56.909002
    Oben rechts KachelX + 1 7535 KachelY 5027 -0.25195634 0.99324946 -14.436035 56.909002
    Unten links KachelX 7534 KachelY + 1 5028 -0.25233984 0.99304005 -14.458008 56.897004
    Unten rechts KachelX + 1 7535 KachelY + 1 5028 -0.25195634 0.99304005 -14.436035 56.897004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99324946-0.99304005) × R
    0.000209410000000076 × 6371000     		dl = 1334.15111000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99324946-0.99304005) × R
    0.000209410000000076 × 6371000     		dr = 1334.15111000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(0.99324946) × R
    0.000383499999999981 × 0.545970335583072 × 6371000     		do = 1333.95758256784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(0.99304005) × R
    0.000383499999999981 × 0.546145768252595 × 6371000     		du = 1334.38621343748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99324946)-sin(0.99304005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545970335583072-0.546145768252595)×R²
    abs(-0.25195634--0.25233984)×0.00017543266952269×R²
    0.000383499999999981×0.00017543266952269×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017543266952269×40589641000000     		ar = 1779986.92515675m²