Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7534 / 5008
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
W 14.458008°		 ← 1 325.83 m → N 57.136239°
W 14.436035°		 →
↑
1 326.06 m
↓
↑
1 326.06 m
↓
N 57.124314°
W 14.458008°		 ← 1 326.26 m →
1 758 411 m²		 N 57.124314°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459869384765625 y=0.305694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459869384765625 × 214)
    floor (0.459869384765625 × 16384)
    floor (7534.5)     		tx = 7534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305694580078125 × 214)
    floor (0.305694580078125 × 16384)
    floor (5008.5)     		ty = 5008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7534 / 5008 ti = "14/7534/5008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7534/5008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7534 ÷ 214
    7534 ÷ 16384     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5008 ÷ 214
    5008 ÷ 16384     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7534 KachelY 5008 -0.25233984 0.99721550 -14.458008 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 7535 KachelY 5008 -0.25195634 0.99721550 -14.436035 57.136239
    Unten links KachelX 7534 KachelY + 1 5009 -0.25233984 0.99700736 -14.458008 57.124314
    Unten rechts KachelX + 1 7535 KachelY + 1 5009 -0.25195634 0.99700736 -14.436035 57.124314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99700736) × R
    0.000208140000000023 × 6371000     		dl = 1326.05994000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99700736) × R
    0.000208140000000023 × 6371000     		dr = 1326.05994000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(0.99721550) × R
    0.000383499999999981 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 1325.82866945043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(0.99700736) × R
    0.000383499999999981 × 0.542818102393969 × 6371000     		du = 1326.25579898992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99700736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.542818102393969)×R²
    abs(-0.25195634--0.25233984)×0.00017481819591636×R²
    0.000383499999999981×0.00017481819591636×6371000²
    0.000383499999999981×0.00017481819591636×40589641000000     		ar = 1758411.49189667m²