Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7534 / 3825
↖ ↑ ↗
← N 68.776191°
W 14.458008°		 ← 884.50 m → N 68.776191°
W 14.436035°		 →
↑
884.68 m
↓
↑
884.68 m
↓
N 68.768235°
W 14.458008°		 ← 884.81 m →
782 633 m²		 N 68.768235°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459869384765625 y=0.233489990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459869384765625 × 214)
    floor (0.459869384765625 × 16384)
    floor (7534.5)     		tx = 7534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233489990234375 × 214)
    floor (0.233489990234375 × 16384)
    floor (3825.5)     		ty = 3825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7534 / 3825 ti = "14/7534/3825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7534/3825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7534 ÷ 214
    7534 ÷ 16384     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3825 ÷ 214
    3825 ÷ 16384     		y = 0.23345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23345947265625 × 2 - 1) × π
    0.5330810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67472352512628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67472352512628))-π/2
    2×atan(5.33731931038409)-π/2
    2×1.38558365193681-π/2
    2.77116730387361-1.57079632675     		φ = 1.20037098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20037098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.776191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7534 KachelY 3825 -0.25233984 1.20037098 -14.458008 68.776191
    Oben rechts KachelX + 1 7535 KachelY 3825 -0.25195634 1.20037098 -14.436035 68.776191
    Unten links KachelX 7534 KachelY + 1 3826 -0.25233984 1.20023212 -14.458008 68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 7535 KachelY + 1 3826 -0.25195634 1.20023212 -14.436035 68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20037098-1.20023212) × R
    0.000138860000000074 × 6371000     		dl = 884.677060000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20037098-1.20023212) × R
    0.000138860000000074 × 6371000     		dr = 884.677060000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(1.20037098) × R
    0.000383499999999981 × 0.36201196168954 × 6371000     		do = 884.496042738832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25195634) × cos(1.20023212) × R
    0.000383499999999981 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 884.812296101265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20037098)-sin(1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36201196168954-0.362141399804119)×R²
    abs(-0.25195634--0.25233984)×0.000129438114579605×R²
    0.000383499999999981×0.000129438114579605×6371000²
    0.000383499999999981×0.000129438114579605×40589641000000     		ar = 782633.250976991m²