Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75337 / 54725
↖ ↑ ↗
← N 28.446959°
E 26.919250°		 ← 268.55 m → N 28.446959°
E 26.921997°		 →
↑
268.54 m
↓
↑
268.54 m
↓
N 28.444544°
E 26.919250°		 ← 268.55 m →
72 116 m²		 N 28.444544°
E 26.921997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574779510498047 y=0.417522430419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574779510498047 × 217)
    floor (0.574779510498047 × 131072)
    floor (75337.5)     		tx = 75337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417522430419922 × 217)
    floor (0.417522430419922 × 131072)
    floor (54725.5)     		ty = 54725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75337 / 54725 ti = "17/75337/54725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75337/54725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75337 ÷ 217
    75337 ÷ 131072     		x = 0.574775695800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54725 ÷ 217
    54725 ÷ 131072     		y = 0.417518615722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574775695800781 × 2 - 1) × π
    0.149551391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46982955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417518615722656 × 2 - 1) × π
    0.164962768554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.518245821792427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46982955} λ = 0.46982955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518245821792427))-π/2
    2×atan(1.67907965985697)-π/2
    2×1.03364471115928-π/2
    2.06728942231856-1.57079632675     		φ = 0.49649310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46982955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.919250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49649310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.446959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75337 KachelY 54725 0.46982955 0.49649310 26.919250 28.446959
    Oben rechts KachelX + 1 75338 KachelY 54725 0.46987749 0.49649310 26.921997 28.446959
    Unten links KachelX 75337 KachelY + 1 54726 0.46982955 0.49645095 26.919250 28.444544
    Unten rechts KachelX + 1 75338 KachelY + 1 54726 0.46987749 0.49645095 26.921997 28.444544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49649310-0.49645095) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dl = 268.537650000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49649310-0.49645095) × R
    4.21500000000186e-05 × 6371000     		dr = 268.537650000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46982955-0.46987749) × cos(0.49649310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879258459463338 × 6371000     		do = 268.548165632985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46982955-0.46987749) × cos(0.49645095) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.879278536624135 × 6371000     		du = 268.554297714679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49649310)-sin(0.49645095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879258459463338-0.879278536624135)×R²
    abs(0.46987749-0.46982955)×2.0077160796772e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0077160796772e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0077160796772e-05×40589641000000     		ar = 72116.1166689881m²