Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75334 / 54718
↖ ↑ ↗
← N 28.463862°
E 26.911011°		 ← 268.51 m → N 28.463862°
E 26.913757°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 28.461448°
E 26.911011°		 ← 268.51 m →
72 087 m²		 N 28.461448°
E 26.913757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574756622314453 y=0.417469024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574756622314453 × 217)
    floor (0.574756622314453 × 131072)
    floor (75334.5)     		tx = 75334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417469024658203 × 217)
    floor (0.417469024658203 × 131072)
    floor (54718.5)     		ty = 54718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75334 / 54718 ti = "17/75334/54718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75334/54718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75334 ÷ 217
    75334 ÷ 131072     		x = 0.574752807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54718 ÷ 217
    54718 ÷ 131072     		y = 0.417465209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574752807617188 × 2 - 1) × π
    0.149505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46968574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417465209960938 × 2 - 1) × π
    0.165069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.518581380089768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46968574} λ = 0.46968574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518581380089768))-π/2
    2×atan(1.67964318351096)-π/2
    2×1.03379222060391-π/2
    2.06758444120782-1.57079632675     		φ = 0.49678811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46968574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.911011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49678811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.463862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75334 KachelY 54718 0.46968574 0.49678811 26.911011 28.463862
    Oben rechts KachelX + 1 75335 KachelY 54718 0.46973368 0.49678811 26.913757 28.463862
    Unten links KachelX 75334 KachelY + 1 54719 0.46968574 0.49674597 26.911011 28.461448
    Unten rechts KachelX + 1 75335 KachelY + 1 54719 0.46973368 0.49674597 26.913757 28.461448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49678811-0.49674597) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49678811-0.49674597) × R
    4.21400000000238e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46968574-0.46973368) × cos(0.49678811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879117894664845 × 6371000     		do = 268.505233525076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46968574-0.46973368) × cos(0.49674597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.879137977992509 × 6371000     		du = 268.51136749029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49678811)-sin(0.49674597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879117894664845-0.879137977992509)×R²
    abs(0.46973368-0.46968574)×2.00833276645662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00833276645662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00833276645662e-05×40589641000000     		ar = 72087.4813706482m²