Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75332 / 54700
↖ ↑ ↗
← N 28.507316°
E 26.905518°		 ← 268.39 m → N 28.507316°
E 26.908264°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.504902°
E 26.905518°		 ← 268.40 m →
72 041 m²		 N 28.504902°
E 26.908264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574741363525391 y=0.417331695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574741363525391 × 217)
    floor (0.574741363525391 × 131072)
    floor (75332.5)     		tx = 75332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417331695556641 × 217)
    floor (0.417331695556641 × 131072)
    floor (54700.5)     		ty = 54700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75332 / 54700 ti = "17/75332/54700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75332/54700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75332 ÷ 217
    75332 ÷ 131072     		x = 0.574737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54700 ÷ 217
    54700 ÷ 131072     		y = 0.417327880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574737548828125 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46958987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417327880859375 × 2 - 1) × π
    0.16534423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519444244282928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46958987} λ = 0.46958987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519444244282928))-π/2
    2×atan(1.68109311292742)-π/2
    2×1.03417142226537-π/2
    2.06834284453073-1.57079632675     		φ = 0.49754652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46958987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49754652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.507316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75332 KachelY 54700 0.46958987 0.49754652 26.905518 28.507316
    Oben rechts KachelX + 1 75333 KachelY 54700 0.46963781 0.49754652 26.908264 28.507316
    Unten links KachelX 75332 KachelY + 1 54701 0.46958987 0.49750439 26.905518 28.504902
    Unten rechts KachelX + 1 75333 KachelY + 1 54701 0.46963781 0.49750439 26.908264 28.504902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49754652-0.49750439) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49754652-0.49750439) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46958987-0.46963781) × cos(0.49754652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87875618034981 × 6371000     		do = 268.394756662738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46958987-0.46963781) × cos(0.49750439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878776286995755 × 6371000     		du = 268.400897749955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49754652)-sin(0.49750439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87875618034981-0.878776286995755)×R²
    abs(0.46963781-0.46958987)×2.01066459457611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01066459457611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01066459457611e-05×40589641000000     		ar = 72040.722542504m²