Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7533 / 7499
↖ ↑ ↗
← S 81.589274°
E151.040039°		 ← 714.74 m → S 81.589274°
E151.083984°		 →
↑
714.44 m
↓
↑
714.44 m
↓
S 81.595699°
E151.040039°		 ← 714.20 m →
510 447 m²		 S 81.595699°
E151.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91961669921875 y=0.91546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91961669921875 × 213)
    floor (0.91961669921875 × 8192)
    floor (7533.5)     		tx = 7533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91546630859375 × 213)
    floor (0.91546630859375 × 8192)
    floor (7499.5)     		ty = 7499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7533 / 7499 ti = "13/7533/7499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7533/7499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7533 ÷ 213
    7533 ÷ 8192     		x = 0.9195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7499 ÷ 213
    7499 ÷ 8192     		y = 0.9154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9195556640625 × 2 - 1) × π
    0.839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63614598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61006831051282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63614598} λ = 2.63614598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61006831051282))-π/2
    2×atan(0.073529520752227)-π/2
    2×0.0733974343030515-π/2
    0.146794868606103-1.57079632675     		φ = -1.42400146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63614598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42400146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.589274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7533 KachelY 7499 2.63614598 -1.42400146 151.040039 -81.589274
    Oben rechts KachelX + 1 7534 KachelY 7499 2.63691297 -1.42400146 151.083984 -81.589274
    Unten links KachelX 7533 KachelY + 1 7500 2.63614598 -1.42411360 151.040039 -81.595699
    Unten rechts KachelX + 1 7534 KachelY + 1 7500 2.63691297 -1.42411360 151.083984 -81.595699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42400146--1.42411360) × R
    0.000112140000000149 × 6371000     		dl = 714.443940000951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42400146--1.42411360) × R
    0.000112140000000149 × 6371000     		dr = 714.443940000951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63614598-2.63691297) × cos(-1.42400146) × R
    0.000766989999999801 × 0.146268227306236 × 6371000     		do = 714.738711271931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63614598-2.63691297) × cos(-1.42411360) × R
    0.000766989999999801 × 0.146157292456126 × 6371000     		du = 714.196628871242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42400146)-sin(-1.42411360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146268227306236-0.146157292456126)×R²
    abs(2.63691297-2.63614598)×0.000110934850109878×R²
    0.000766989999999801×0.000110934850109878×6371000²
    0.000766989999999801×0.000110934850109878×40589641000000     		ar = 510447.09774353m²