Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7533 / 7498
↖ ↑ ↗
← S 81.582843°
E151.040039°		 ← 715.28 m → S 81.582843°
E151.083984°		 →
↑
715.02 m
↓
↑
715.02 m
↓
S 81.589274°
E151.040039°		 ← 714.74 m →
511 245 m²		 S 81.589274°
E151.083984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91961669921875 y=0.91534423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91961669921875 × 213)
    floor (0.91961669921875 × 8192)
    floor (7533.5)     		tx = 7533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91534423828125 × 213)
    floor (0.91534423828125 × 8192)
    floor (7498.5)     		ty = 7498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7533 / 7498 ti = "13/7533/7498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7533/7498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7533 ÷ 213
    7533 ÷ 8192     		x = 0.9195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7498 ÷ 213
    7498 ÷ 8192     		y = 0.915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9195556640625 × 2 - 1) × π
    0.839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63614598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63614598} λ = 2.63614598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6093013201189))-π/2
    2×atan(0.0735859388216064)-π/2
    2×0.073453548751746-π/2
    0.146907097503492-1.57079632675     		φ = -1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63614598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7533 KachelY 7498 2.63614598 -1.42388923 151.040039 -81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 7534 KachelY 7498 2.63691297 -1.42388923 151.083984 -81.582843
    Unten links KachelX 7533 KachelY + 1 7499 2.63614598 -1.42400146 151.040039 -81.589274
    Unten rechts KachelX + 1 7534 KachelY + 1 7499 2.63691297 -1.42400146 151.083984 -81.589274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42388923--1.42400146) × R
    0.000112230000000046 × 6371000     		dl = 715.017330000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42388923--1.42400146) × R
    0.000112230000000046 × 6371000     		dr = 715.017330000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63614598-2.63691297) × cos(-1.42388923) × R
    0.000766989999999801 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 715.28121973179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63614598-2.63691297) × cos(-1.42400146) × R
    0.000766989999999801 × 0.146268227306236 × 6371000     		du = 714.738711271931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42388923)-sin(-1.42400146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.146268227306236)×R²
    abs(2.63691297-2.63614598)×0.000111022041300979×R²
    0.000766989999999801×0.000111022041300979×6371000²
    0.000766989999999801×0.000111022041300979×40589641000000     		ar = 511244.516992412m²