Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7533 / 3400
↖ ↑ ↗
← N 71.910888°
W 14.479980°		 ← 758.61 m → N 71.910888°
W 14.458008°		 →
↑
758.72 m
↓
↑
758.72 m
↓
N 71.904064°
W 14.479980°		 ← 758.88 m →
575 678 m²		 N 71.904064°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459808349609375 y=0.207550048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459808349609375 × 214)
    floor (0.459808349609375 × 16384)
    floor (7533.5)     		tx = 7533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207550048828125 × 214)
    floor (0.207550048828125 × 16384)
    floor (3400.5)     		ty = 3400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7533 / 3400 ti = "14/7533/3400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7533/3400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7533 ÷ 214
    7533 ÷ 16384     		x = 0.45977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3400 ÷ 214
    3400 ÷ 16384     		y = 0.20751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25272333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20751953125 × 2 - 1) × π
    0.5849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83770898383447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25272333} λ = -0.25272333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83770898383447))-π/2
    2×atan(6.28212930196528)-π/2
    2×1.41293904412464-π/2
    2.82587808824927-1.57079632675     		φ = 1.25508176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25272333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25508176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.910888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7533 KachelY 3400 -0.25272333 1.25508176 -14.479980 71.910888
    Oben rechts KachelX + 1 7534 KachelY 3400 -0.25233984 1.25508176 -14.458008 71.910888
    Unten links KachelX 7533 KachelY + 1 3401 -0.25272333 1.25496267 -14.479980 71.904064
    Unten rechts KachelX + 1 7534 KachelY + 1 3401 -0.25233984 1.25496267 -14.458008 71.904064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25508176-1.25496267) × R
    0.000119089999999877 × 6371000     		dl = 758.722389999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25508176-1.25496267) × R
    0.000119089999999877 × 6371000     		dr = 758.722389999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25272333--0.25233984) × cos(1.25508176) × R
    0.000383490000000042 × 0.310495799593839 × 6371000     		do = 758.607929800627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25272333--0.25233984) × cos(1.25496267) × R
    0.000383490000000042 × 0.310609001338951 × 6371000     		du = 758.884505978537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25508176)-sin(1.25496267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310495799593839-0.310609001338951)×R²
    abs(-0.25233984--0.25272333)×0.000113201745111646×R²
    0.000383490000000042×0.000113201745111646×6371000²
    0.000383490000000042×0.000113201745111646×40589641000000     		ar = 575677.744521295m²