Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75327 / 55617
↖ ↑ ↗
← N 26.271251°
E 26.891784°		 ← 273.88 m → N 26.271251°
E 26.894531°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 26.268789°
E 26.891784°		 ← 273.88 m →
74 996 m²		 N 26.268789°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574703216552734 y=0.424327850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574703216552734 × 217)
    floor (0.574703216552734 × 131072)
    floor (75327.5)     		tx = 75327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424327850341797 × 217)
    floor (0.424327850341797 × 131072)
    floor (55617.5)     		ty = 55617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75327 / 55617 ti = "17/75327/55617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75327/55617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75327 ÷ 217
    75327 ÷ 131072     		x = 0.574699401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55617 ÷ 217
    55617 ÷ 131072     		y = 0.424324035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574699401855469 × 2 - 1) × π
    0.149398803710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46935018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424324035644531 × 2 - 1) × π
    0.151351928710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.475486107331337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46935018} λ = 0.46935018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475486107331337))-π/2
    2×atan(1.60879605499401)-π/2
    2×1.01465807913014-π/2
    2.02931615826029-1.57079632675     		φ = 0.45851983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46935018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.891784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45851983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.271251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75327 KachelY 55617 0.46935018 0.45851983 26.891784 26.271251
    Oben rechts KachelX + 1 75328 KachelY 55617 0.46939812 0.45851983 26.894531 26.271251
    Unten links KachelX 75327 KachelY + 1 55618 0.46935018 0.45847685 26.891784 26.268789
    Unten rechts KachelX + 1 75328 KachelY + 1 55618 0.46939812 0.45847685 26.894531 26.268789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45851983-0.45847685) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45851983-0.45847685) × R
    4.29800000000258e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46935018-0.46939812) × cos(0.45851983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896708634373089 × 6371000     		do = 273.877898217611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46935018-0.46939812) × cos(0.45847685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896727657408798 × 6371000     		du = 273.883708342369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45851983)-sin(0.45847685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896708634373089-0.896727657408798)×R²
    abs(0.46939812-0.46935018)×1.90230357091092e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90230357091092e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90230357091092e-05×40589641000000     		ar = 74995.5698205448m²