Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75326 / 54868
↖ ↑ ↗
← N 28.101058°
E 26.889038°		 ← 269.37 m → N 28.101058°
E 26.891784°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.098635°
E 26.889038°		 ← 269.37 m →
72 559 m²		 N 28.098635°
E 26.891784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574695587158203 y=0.418613433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574695587158203 × 217)
    floor (0.574695587158203 × 131072)
    floor (75326.5)     		tx = 75326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418613433837891 × 217)
    floor (0.418613433837891 × 131072)
    floor (54868.5)     		ty = 54868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75326 / 54868 ti = "17/75326/54868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75326/54868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75326 ÷ 217
    75326 ÷ 131072     		x = 0.574691772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54868 ÷ 217
    54868 ÷ 131072     		y = 0.418609619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574691772460938 × 2 - 1) × π
    0.149383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46930225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    0.16278076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.511390845146759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46930225} λ = 0.46930225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511390845146759))-π/2
    2×atan(1.66760896858079)-π/2
    2×1.03062615572727-π/2
    2.06125231145454-1.57079632675     		φ = 0.49045598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46930225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.889038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49045598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.101058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75326 KachelY 54868 0.46930225 0.49045598 26.889038 28.101058
    Oben rechts KachelX + 1 75327 KachelY 54868 0.46935018 0.49045598 26.891784 28.101058
    Unten links KachelX 75326 KachelY + 1 54869 0.46930225 0.49041370 26.889038 28.098635
    Unten rechts KachelX + 1 75327 KachelY + 1 54869 0.46935018 0.49041370 26.891784 28.098635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49045598-0.49041370) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49045598-0.49041370) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46930225-0.46935018) × cos(0.49045598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882118170898735 × 6371000     		do = 269.36539536569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46930225-0.46935018) × cos(0.49041370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882138085181125 × 6371000     		du = 269.371476431386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49045598)-sin(0.49041370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882118170898735-0.882138085181125)×R²
    abs(0.46935018-0.46930225)×1.99142823893439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99142823893439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99142823893439e-05×40589641000000     		ar = 72558.6657908287m²