Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75324 / 54867
↖ ↑ ↗
← N 28.103481°
E 26.883545°		 ← 269.42 m → N 28.103481°
E 26.886291°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.101058°
E 26.883545°		 ← 269.42 m →
72 589 m²		 N 28.101058°
E 26.886291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574680328369141 y=0.418605804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574680328369141 × 217)
    floor (0.574680328369141 × 131072)
    floor (75324.5)     		tx = 75324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418605804443359 × 217)
    floor (0.418605804443359 × 131072)
    floor (54867.5)     		ty = 54867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75324 / 54867 ti = "17/75324/54867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75324/54867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75324 ÷ 217
    75324 ÷ 131072     		x = 0.574676513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54867 ÷ 217
    54867 ÷ 131072     		y = 0.418601989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574676513671875 × 2 - 1) × π
    0.14935302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46920637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418601989746094 × 2 - 1) × π
    0.162796020507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.511438782046379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46920637} λ = 0.46920637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511438782046379))-π/2
    2×atan(1.66768891050059)-π/2
    2×1.03064729849362-π/2
    2.06129459698724-1.57079632675     		φ = 0.49049827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46920637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.883545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49049827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.103481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75324 KachelY 54867 0.46920637 0.49049827 26.883545 28.103481
    Oben rechts KachelX + 1 75325 KachelY 54867 0.46925431 0.49049827 26.886291 28.103481
    Unten links KachelX 75324 KachelY + 1 54868 0.46920637 0.49045598 26.883545 28.101058
    Unten rechts KachelX + 1 75325 KachelY + 1 54868 0.46925431 0.49045598 26.886291 28.101058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49049827-0.49045598) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49049827-0.49045598) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46920637-0.46925431) × cos(0.49049827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882098250328818 × 6371000     		do = 269.41551085952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46920637-0.46925431) × cos(0.49045598) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882118170898735 × 6371000     		du = 269.421595114328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49049827)-sin(0.49045598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882098250328818-0.882118170898735)×R²
    abs(0.46925431-0.46920637)×1.99205699169536e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99205699169536e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99205699169536e-05×40589641000000     		ar = 72589.3302805407m²