Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75323 / 57863
↖ ↑ ↗
← N 20.614791°
E 26.880799°		 ← 285.81 m → N 20.614791°
E 26.883545°		 →
↑
285.87 m
↓
↑
285.87 m
↓
N 20.612220°
E 26.880799°		 ← 285.81 m →
81 704 m²		 N 20.612220°
E 26.883545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574672698974609 y=0.441463470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574672698974609 × 217)
    floor (0.574672698974609 × 131072)
    floor (75323.5)     		tx = 75323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441463470458984 × 217)
    floor (0.441463470458984 × 131072)
    floor (57863.5)     		ty = 57863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75323 / 57863 ti = "17/75323/57863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75323/57863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75323 ÷ 217
    75323 ÷ 131072     		x = 0.574668884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57863 ÷ 217
    57863 ÷ 131072     		y = 0.441459655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574668884277344 × 2 - 1) × π
    0.149337768554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46915844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441459655761719 × 2 - 1) × π
    0.117080688476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.367819830784691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46915844} λ = 0.46915844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.367819830784691))-π/2
    2×atan(1.44458174636653)-π/2
    2×0.965296146154299-π/2
    1.9305922923086-1.57079632675     		φ = 0.35979597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46915844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.880799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35979597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.614791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75323 KachelY 57863 0.46915844 0.35979597 26.880799 20.614791
    Oben rechts KachelX + 1 75324 KachelY 57863 0.46920637 0.35979597 26.883545 20.614791
    Unten links KachelX 75323 KachelY + 1 57864 0.46915844 0.35975110 26.880799 20.612220
    Unten rechts KachelX + 1 75324 KachelY + 1 57864 0.46920637 0.35975110 26.883545 20.612220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35979597-0.35975110) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dl = 285.866770000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35979597-0.35975110) × R
    4.48700000000302e-05 × 6371000     		dr = 285.866770000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46915844-0.46920637) × cos(0.35979597) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935968678709382 × 6371000     		do = 285.809295746959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46915844-0.46920637) × cos(0.35975110) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.935984475743722 × 6371000     		du = 285.814119561433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35979597)-sin(0.35975110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935968678709382-0.935984475743722)×R²
    abs(0.46920637-0.46915844)×1.57970343394043e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.57970343394043e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.57970343394043e-05×40589641000000     		ar = 81704.0697091124m²