Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75321 / 55707
↖ ↑ ↗
← N 26.049381°
E 26.875305°		 ← 274.40 m → N 26.049381°
E 26.878052°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
N 26.046913°
E 26.875305°		 ← 274.41 m →
75 296 m²		 N 26.046913°
E 26.878052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574657440185547 y=0.425014495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574657440185547 × 217)
    floor (0.574657440185547 × 131072)
    floor (75321.5)     		tx = 75321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425014495849609 × 217)
    floor (0.425014495849609 × 131072)
    floor (55707.5)     		ty = 55707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75321 / 55707 ti = "17/75321/55707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75321/55707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75321 ÷ 217
    75321 ÷ 131072     		x = 0.574653625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55707 ÷ 217
    55707 ÷ 131072     		y = 0.425010681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574653625488281 × 2 - 1) × π
    0.149307250976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.46906256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425010681152344 × 2 - 1) × π
    0.149978637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.471171786365532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46906256} λ = 0.46906256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471171786365532))-π/2
    2×atan(1.60187014348973)-π/2
    2×1.01272189143913-π/2
    2.02544378287826-1.57079632675     		φ = 0.45464746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46906256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.875305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45464746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.049381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75321 KachelY 55707 0.46906256 0.45464746 26.875305 26.049381
    Oben rechts KachelX + 1 75322 KachelY 55707 0.46911050 0.45464746 26.878052 26.049381
    Unten links KachelX 75321 KachelY + 1 55708 0.46906256 0.45460439 26.875305 26.046913
    Unten rechts KachelX + 1 75322 KachelY + 1 55708 0.46911050 0.45460439 26.878052 26.046913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45464746-0.45460439) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dl = 274.398969999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45464746-0.45460439) × R
    4.30699999999784e-05 × 6371000     		dr = 274.398969999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46906256-0.46911050) × cos(0.45464746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898415900399522 × 6371000     		do = 274.39934120711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46906256-0.46911050) × cos(0.45460439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8984348135678 × 6371000     		du = 274.405117775527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45464746)-sin(0.45460439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898415900399522-0.8984348135678)×R²
    abs(0.46911050-0.46906256)×1.89131682781785e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89131682781785e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89131682781785e-05×40589641000000     		ar = 75295.6891496692m²