Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75320 / 57031
↖ ↑ ↗
← N 22.738190°
E 26.872559°		 ← 281.63 m → N 22.738190°
E 26.875305°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.735657°
E 26.872559°		 ← 281.63 m →
79 325 m²		 N 22.735657°
E 26.875305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574649810791016 y=0.435115814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574649810791016 × 217)
    floor (0.574649810791016 × 131072)
    floor (75320.5)     		tx = 75320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435115814208984 × 217)
    floor (0.435115814208984 × 131072)
    floor (57031.5)     		ty = 57031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75320 / 57031 ti = "17/75320/57031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75320/57031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75320 ÷ 217
    75320 ÷ 131072     		x = 0.57464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57031 ÷ 217
    57031 ÷ 131072     		y = 0.435111999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57464599609375 × 2 - 1) × π
    0.1492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46901463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435111999511719 × 2 - 1) × π
    0.129776000976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.407703331268578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46901463} λ = 0.46901463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407703331268578))-π/2
    2×atan(1.50336109477755)-π/2
    2×0.983826304071934-π/2
    1.96765260814387-1.57079632675     		φ = 0.39685628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46901463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.872559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39685628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.738190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75320 KachelY 57031 0.46901463 0.39685628 26.872559 22.738190
    Oben rechts KachelX + 1 75321 KachelY 57031 0.46906256 0.39685628 26.875305 22.738190
    Unten links KachelX 75320 KachelY + 1 57032 0.46901463 0.39681207 26.872559 22.735657
    Unten rechts KachelX + 1 75321 KachelY + 1 57032 0.46906256 0.39681207 26.875305 22.735657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39685628-0.39681207) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39685628-0.39681207) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46901463-0.46906256) × cos(0.39685628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922280662809634 × 6371000     		do = 281.629495425468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46901463-0.46906256) × cos(0.39681207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.922297749995756 × 6371000     		du = 281.634713203309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39685628)-sin(0.39681207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922280662809634-0.922297749995756)×R²
    abs(0.46906256-0.46901463)×1.70871861220334e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70871861220334e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70871861220334e-05×40589641000000     		ar = 79325.0364313734m²