Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7532 / 7491
↖ ↑ ↗
← S 81.537695°
E150.996094°		 ← 719.09 m → S 81.537695°
E151.040039°		 →
↑
718.78 m
↓
↑
718.78 m
↓
S 81.544159°
E150.996094°		 ← 718.54 m →
516 669 m²		 S 81.544159°
E151.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91949462890625 y=0.91448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91949462890625 × 213)
    floor (0.91949462890625 × 8192)
    floor (7532.5)     		tx = 7532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91448974609375 × 213)
    floor (0.91448974609375 × 8192)
    floor (7491.5)     		ty = 7491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7532 / 7491 ti = "13/7532/7491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7532/7491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7532 ÷ 213
    7532 ÷ 8192     		x = 0.91943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7491 ÷ 213
    7491 ÷ 8192     		y = 0.9144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91943359375 × 2 - 1) × π
    0.8388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63537899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60393238736145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63537899} λ = 2.63537899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60393238736145))-π/2
    2×atan(0.0739820792531265)-π/2
    2×0.0738475442352973-π/2
    0.147695088470595-1.57079632675     		φ = -1.42310124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63537899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.996094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42310124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.537695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7532 KachelY 7491 2.63537899 -1.42310124 150.996094 -81.537695
    Oben rechts KachelX + 1 7533 KachelY 7491 2.63614598 -1.42310124 151.040039 -81.537695
    Unten links KachelX 7532 KachelY + 1 7492 2.63537899 -1.42321406 150.996094 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 7533 KachelY + 1 7492 2.63614598 -1.42321406 151.040039 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42310124--1.42321406) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dl = 718.776220000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42310124--1.42321406) × R
    0.000112820000000013 × 6371000     		dr = 718.776220000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63537899-2.63614598) × cos(-1.42310124) × R
    0.000766990000000245 × 0.147158706022985 × 6371000     		do = 719.090029546627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63537899-2.63614598) × cos(-1.42321406) × R
    0.000766990000000245 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 718.544732797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42310124)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147158706022985-0.147047113370081)×R²
    abs(2.63614598-2.63537899)×0.000111592652903642×R²
    0.000766990000000245×0.000111592652903642×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111592652903642×40589641000000     		ar = 516668.840657864m²