Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7532 / 3838
↖ ↑ ↗
← N 68.672544°
W 14.501953°		 ← 888.61 m → N 68.672544°
W 14.479980°		 →
↑
888.75 m
↓
↑
888.75 m
↓
N 68.664551°
W 14.501953°		 ← 888.93 m →
789 901 m²		 N 68.664551°
W 14.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459747314453125 y=0.234283447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459747314453125 × 214)
    floor (0.459747314453125 × 16384)
    floor (7532.5)     		tx = 7532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234283447265625 × 214)
    floor (0.234283447265625 × 16384)
    floor (3838.5)     		ty = 3838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7532 / 3838 ti = "14/7532/3838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7532/3838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7532 ÷ 214
    7532 ÷ 16384     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3838 ÷ 214
    3838 ÷ 16384     		y = 0.2342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6697380875658))-π/2
    2×atan(5.31077665656897)-π/2
    2×1.3846791583107-π/2
    2.76935831662139-1.57079632675     		φ = 1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7532 KachelY 3838 -0.25310683 1.19856199 -14.501953 68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 7533 KachelY 3838 -0.25272333 1.19856199 -14.479980 68.672544
    Unten links KachelX 7532 KachelY + 1 3839 -0.25310683 1.19842249 -14.501953 68.664551
    Unten rechts KachelX + 1 7533 KachelY + 1 3839 -0.25272333 1.19842249 -14.479980 68.664551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19856199-1.19842249) × R
    0.000139499999999959 × 6371000     		dl = 888.754499999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19856199-1.19842249) × R
    0.000139499999999959 × 6371000     		dr = 888.754499999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25272333) × cos(1.19856199) × R
    0.000383499999999981 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 888.614675342921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25272333) × cos(1.19842249) × R
    0.000383499999999981 × 0.36382760397497 × 6371000     		du = 888.932162498515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19856199)-sin(1.19842249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.36382760397497)×R²
    abs(-0.25272333--0.25310683)×0.000129943089007045×R²
    0.000383499999999981×0.000129943089007045×6371000²
    0.000383499999999981×0.000129943089007045×40589641000000     		ar = 789901.376827832m²