Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75317 / 55831
↖ ↑ ↗
← N 25.743003°
E 26.864319°		 ← 275.06 m → N 25.743003°
E 26.867065°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.740529°
E 26.864319°		 ← 275.06 m →
75 668 m²		 N 25.740529°
E 26.867065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574626922607422 y=0.425960540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574626922607422 × 217)
    floor (0.574626922607422 × 131072)
    floor (75317.5)     		tx = 75317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425960540771484 × 217)
    floor (0.425960540771484 × 131072)
    floor (55831.5)     		ty = 55831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75317 / 55831 ti = "17/75317/55831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75317/55831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75317 ÷ 217
    75317 ÷ 131072     		x = 0.574623107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55831 ÷ 217
    55831 ÷ 131072     		y = 0.425956726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574623107910156 × 2 - 1) × π
    0.149246215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.46887082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425956726074219 × 2 - 1) × π
    0.148086547851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.465227610812645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46887082} λ = 0.46887082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465227610812645))-π/2
    2×atan(1.59237658977199)-π/2
    2×1.01004824516535-π/2
    2.02009649033071-1.57079632675     		φ = 0.44930016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46887082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.864319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44930016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.743003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75317 KachelY 55831 0.46887082 0.44930016 26.864319 25.743003
    Oben rechts KachelX + 1 75318 KachelY 55831 0.46891875 0.44930016 26.867065 25.743003
    Unten links KachelX 75317 KachelY + 1 55832 0.46887082 0.44925698 26.864319 25.740529
    Unten rechts KachelX + 1 75318 KachelY + 1 55832 0.46891875 0.44925698 26.867065 25.740529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44930016-0.44925698) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dl = 275.099780000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44930016-0.44925698) × R
    4.31800000000315e-05 × 6371000     		dr = 275.099780000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46887082-0.46891875) × cos(0.44930016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900751288098528 × 6371000     		do = 275.055241858731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46887082-0.46891875) × cos(0.44925698) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900770041855264 × 6371000     		du = 275.060968543958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44930016)-sin(0.44925698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900751288098528-0.900770041855264)×R²
    abs(0.46891875-0.46887082)×1.87537567357676e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87537567357676e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87537567357676e-05×40589641000000     		ar = 75668.4242399244m²