Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75314 / 55730
↖ ↑ ↗
← N 25.992613°
E 26.856079°		 ← 274.53 m → N 25.992613°
E 26.858826°		 →
↑
274.53 m
↓
↑
274.53 m
↓
N 25.990144°
E 26.856079°		 ← 274.54 m →
75 367 m²		 N 25.990144°
E 26.858826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574604034423828 y=0.425189971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574604034423828 × 217)
    floor (0.574604034423828 × 131072)
    floor (75314.5)     		tx = 75314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425189971923828 × 217)
    floor (0.425189971923828 × 131072)
    floor (55730.5)     		ty = 55730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75314 / 55730 ti = "17/75314/55730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75314/55730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75314 ÷ 217
    75314 ÷ 131072     		x = 0.574600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55730 ÷ 217
    55730 ÷ 131072     		y = 0.425186157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574600219726562 × 2 - 1) × π
    0.149200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46872700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425186157226562 × 2 - 1) × π
    0.149627685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.470069237674271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46872700} λ = 0.46872700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470069237674271))-π/2
    2×atan(1.6001049769293)-π/2
    2×1.01222649796162-π/2
    2.02445299592325-1.57079632675     		φ = 0.45365667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46872700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.856079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45365667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.992613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75314 KachelY 55730 0.46872700 0.45365667 26.856079 25.992613
    Oben rechts KachelX + 1 75315 KachelY 55730 0.46877494 0.45365667 26.858826 25.992613
    Unten links KachelX 75314 KachelY + 1 55731 0.46872700 0.45361358 26.856079 25.990144
    Unten rechts KachelX + 1 75315 KachelY + 1 55731 0.46877494 0.45361358 26.858826 25.990144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45365667-0.45361358) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dl = 274.526389999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45365667-0.45361358) × R
    4.30899999999679e-05 × 6371000     		dr = 274.526389999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46872700-0.46877494) × cos(0.45365667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898850560439187 × 6371000     		do = 274.532097571373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46872700-0.46877494) × cos(0.45361358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898869444023721 × 6371000     		du = 274.537865104154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45365667)-sin(0.45361358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898850560439187-0.898869444023721)×R²
    abs(0.46877494-0.46872700)×1.88835845345015e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88835845345015e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88835845345015e-05×40589641000000     		ar = 75367.0973669159m²