Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75313 / 56009
↖ ↑ ↗
← N 25.301821°
E 26.853333°		 ← 276.07 m → N 25.301821°
E 26.856079°		 →
↑
276.12 m
↓
↑
276.12 m
↓
N 25.299338°
E 26.853333°		 ← 276.07 m →
76 229 m²		 N 25.299338°
E 26.856079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574596405029297 y=0.427318572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574596405029297 × 217)
    floor (0.574596405029297 × 131072)
    floor (75313.5)     		tx = 75313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427318572998047 × 217)
    floor (0.427318572998047 × 131072)
    floor (56009.5)     		ty = 56009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75313 / 56009 ti = "17/75313/56009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75313/56009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75313 ÷ 217
    75313 ÷ 131072     		x = 0.574592590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56009 ÷ 217
    56009 ÷ 131072     		y = 0.427314758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574592590332031 × 2 - 1) × π
    0.149185180664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.46867907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427314758300781 × 2 - 1) × π
    0.145370483398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.456694842680275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46867907} λ = 0.46867907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456694842680275))-π/2
    2×atan(1.57884701400701)-π/2
    2×1.00619820228864-π/2
    2.01239640457727-1.57079632675     		φ = 0.44160008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46867907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.853333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44160008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.301821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75313 KachelY 56009 0.46867907 0.44160008 26.853333 25.301821
    Oben rechts KachelX + 1 75314 KachelY 56009 0.46872700 0.44160008 26.856079 25.301821
    Unten links KachelX 75313 KachelY + 1 56010 0.46867907 0.44155674 26.853333 25.299338
    Unten rechts KachelX + 1 75314 KachelY + 1 56010 0.46872700 0.44155674 26.856079 25.299338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44160008-0.44155674) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dl = 276.119140000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44160008-0.44155674) × R
    4.33400000000028e-05 × 6371000     		dr = 276.119140000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46867907-0.46872700) × cos(0.44160008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904068968093826 × 6371000     		do = 276.068335357305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46867907-0.46872700) × cos(0.44155674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.904087490179733 × 6371000     		du = 276.073991299057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44160008)-sin(0.44155674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904068968093826-0.904087490179733)×R²
    abs(0.46872700-0.46867907)×1.85220859066915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85220859066915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85220859066915e-05×40589641000000     		ar = 76228.5322088477m²