Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75312 / 55695
↖ ↑ ↗
← N 26.078988°
E 26.850586°		 ← 274.33 m → N 26.078988°
E 26.853333°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.076520°
E 26.850586°		 ← 274.34 m →
75 259 m²		 N 26.076520°
E 26.853333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574588775634766 y=0.424922943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574588775634766 × 217)
    floor (0.574588775634766 × 131072)
    floor (75312.5)     		tx = 75312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424922943115234 × 217)
    floor (0.424922943115234 × 131072)
    floor (55695.5)     		ty = 55695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75312 / 55695 ti = "17/75312/55695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75312/55695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75312 ÷ 217
    75312 ÷ 131072     		x = 0.5745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55695 ÷ 217
    55695 ÷ 131072     		y = 0.424919128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5745849609375 × 2 - 1) × π
    0.149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46863113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424919128417969 × 2 - 1) × π
    0.150161743164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.471747029160973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46863113} λ = 0.46863113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471747029160973))-π/2
    2×atan(1.60279187283266)-π/2
    2×1.01298026242952-π/2
    2.02596052485904-1.57079632675     		φ = 0.45516420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46863113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.850586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45516420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.078988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75312 KachelY 55695 0.46863113 0.45516420 26.850586 26.078988
    Oben rechts KachelX + 1 75313 KachelY 55695 0.46867907 0.45516420 26.853333 26.078988
    Unten links KachelX 75312 KachelY + 1 55696 0.46863113 0.45512114 26.850586 26.076520
    Unten rechts KachelX + 1 75313 KachelY + 1 55696 0.46867907 0.45512114 26.853333 26.076520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45516420-0.45512114) × R
    4.30600000000392e-05 × 6371000     		dl = 274.33526000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45516420-0.45512114) × R
    4.30600000000392e-05 × 6371000     		dr = 274.33526000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46863113-0.46867907) × cos(0.45516420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898188856357663 × 6371000     		do = 274.329996112613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46863113-0.46867907) × cos(0.45512114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898207785123052 × 6371000     		du = 274.335777444789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45516420)-sin(0.45512114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898188856357663-0.898207785123052)×R²
    abs(0.46867907-0.46863113)×1.89287653884485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89287653884485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89287653884485e-05×40589641000000     		ar = 75259.183832642m²