Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75311 / 55826
↖ ↑ ↗
← N 25.755372°
E 26.847839°		 ← 275.08 m → N 25.755372°
E 26.850586°		 →
↑
275.10 m
↓
↑
275.10 m
↓
N 25.752898°
E 26.847839°		 ← 275.09 m →
75 676 m²		 N 25.752898°
E 26.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574581146240234 y=0.425922393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574581146240234 × 217)
    floor (0.574581146240234 × 131072)
    floor (75311.5)     		tx = 75311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425922393798828 × 217)
    floor (0.425922393798828 × 131072)
    floor (55826.5)     		ty = 55826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75311 / 55826 ti = "17/75311/55826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75311/55826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75311 ÷ 217
    75311 ÷ 131072     		x = 0.574577331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55826 ÷ 217
    55826 ÷ 131072     		y = 0.425918579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574577331542969 × 2 - 1) × π
    0.149154663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.46858319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425918579101562 × 2 - 1) × π
    0.148162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.465467295310745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46858319} λ = 0.46858319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465467295310745))-π/2
    2×atan(1.5927583034993)-π/2
    2×1.01015618760585-π/2
    2.02031237521169-1.57079632675     		φ = 0.44951605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46858319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.847839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44951605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.755372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75311 KachelY 55826 0.46858319 0.44951605 26.847839 25.755372
    Oben rechts KachelX + 1 75312 KachelY 55826 0.46863113 0.44951605 26.850586 25.755372
    Unten links KachelX 75311 KachelY + 1 55827 0.46858319 0.44947287 26.847839 25.752898
    Unten rechts KachelX + 1 75312 KachelY + 1 55827 0.46863113 0.44947287 26.850586 25.752898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44951605-0.44947287) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dl = 275.099779999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44951605-0.44947287) × R
    4.3179999999976e-05 × 6371000     		dr = 275.099779999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46858319-0.46863113) × cos(0.44951605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900657498468917 × 6371000     		do = 275.083982956556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46858319-0.46863113) × cos(0.44947287) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900676260622224 × 6371000     		du = 275.089713401114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44951605)-sin(0.44947287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900657498468917-0.900676260622224)×R²
    abs(0.46863113-0.46858319)×1.87621533068727e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87621533068727e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87621533068727e-05×40589641000000     		ar = 75676.3314265639m²