Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75310 / 56850
↖ ↑ ↗
← N 23.195912°
E 26.845093°		 ← 280.68 m → N 23.195912°
E 26.847839°		 →
↑
280.71 m
↓
↑
280.71 m
↓
N 23.193387°
E 26.845093°		 ← 280.68 m →
78 789 m²		 N 23.193387°
E 26.847839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574573516845703 y=0.433734893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574573516845703 × 217)
    floor (0.574573516845703 × 131072)
    floor (75310.5)     		tx = 75310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433734893798828 × 217)
    floor (0.433734893798828 × 131072)
    floor (56850.5)     		ty = 56850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75310 / 56850 ti = "17/75310/56850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75310/56850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75310 ÷ 217
    75310 ÷ 131072     		x = 0.574569702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56850 ÷ 217
    56850 ÷ 131072     		y = 0.433731079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574569702148438 × 2 - 1) × π
    0.149139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46853526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433731079101562 × 2 - 1) × π
    0.132537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.416379910099808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46853526} λ = 0.46853526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416379910099808))-π/2
    2×atan(1.51646187863134)-π/2
    2×0.987820680241699-π/2
    1.9756413604834-1.57079632675     		φ = 0.40484503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46853526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.845093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40484503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.195912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75310 KachelY 56850 0.46853526 0.40484503 26.845093 23.195912
    Oben rechts KachelX + 1 75311 KachelY 56850 0.46858319 0.40484503 26.847839 23.195912
    Unten links KachelX 75310 KachelY + 1 56851 0.46853526 0.40480097 26.845093 23.193387
    Unten rechts KachelX + 1 75311 KachelY + 1 56851 0.46858319 0.40480097 26.847839 23.193387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40484503-0.40480097) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dl = 280.706260000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40484503-0.40480097) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dr = 280.706260000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46853526-0.46858319) × cos(0.40484503) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.919163447216381 × 6371000     		do = 280.677616143639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46853526-0.46858319) × cos(0.40480097) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.919180800514959 × 6371000     		du = 280.68291518212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40484503)-sin(0.40480097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919163447216381-0.919180800514959)×R²
    abs(0.46858319-0.46853526)×1.73532985783265e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.73532985783265e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.73532985783265e-05×40589641000000     		ar = 78788.7076428085m²