Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7531 / 7494
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E150.952148°		 ← 717.46 m → S 81.557073°
E150.996094°		 →
↑
717.18 m
↓
↑
717.18 m
↓
S 81.563523°
E150.952148°		 ← 716.91 m →
514 352 m²		 S 81.563523°
E150.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91937255859375 y=0.91485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91937255859375 × 213)
    floor (0.91937255859375 × 8192)
    floor (7531.5)     		tx = 7531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91485595703125 × 213)
    floor (0.91485595703125 × 8192)
    floor (7494.5)     		ty = 7494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7531 / 7494 ti = "13/7531/7494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7531/7494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7531 ÷ 213
    7531 ÷ 8192     		x = 0.9193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7494 ÷ 213
    7494 ÷ 8192     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9193115234375 × 2 - 1) × π
    0.838623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63461200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63461200} λ = 2.63461200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63461200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7531 KachelY 7494 2.63461200 -1.42343946 150.952148 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 7532 KachelY 7494 2.63537899 -1.42343946 150.996094 -81.557073
    Unten links KachelX 7531 KachelY + 1 7495 2.63461200 -1.42355203 150.952148 -81.563523
    Unten rechts KachelX + 1 7532 KachelY + 1 7495 2.63537899 -1.42355203 150.996094 -81.563523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42355203) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dl = 717.183469999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42355203) × R
    0.000112569999999979 × 6371000     		dr = 717.183469999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63461200-2.63537899) × cos(-1.42343946) × R
    0.000766989999999801 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 717.455271915368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63461200-2.63537899) × cos(-1.42355203) × R
    0.000766989999999801 × 0.146712808884839 × 6371000     		du = 716.91115617263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42355203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146712808884839)×R²
    abs(2.63537899-2.63461200)×0.000111350964883572×R²
    0.000766989999999801×0.000111350964883572×6371000²
    0.000766989999999801×0.000111350964883572×40589641000000     		ar = 514351.946617476m²