Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75309 / 78277
↖ ↑ ↗
← S 33.001754°
E 26.842346°		 ← 256.15 m → S 33.001754°
E 26.845093°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
S 33.004057°
E 26.842346°		 ← 256.14 m →
65 602 m²		 S 33.004057°
E 26.845093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574565887451172 y=0.597209930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574565887451172 × 217)
    floor (0.574565887451172 × 131072)
    floor (75309.5)     		tx = 75309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597209930419922 × 217)
    floor (0.597209930419922 × 131072)
    floor (78277.5)     		ty = 78277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75309 / 78277 ti = "17/75309/78277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75309/78277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75309 ÷ 217
    75309 ÷ 131072     		x = 0.574562072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78277 ÷ 217
    78277 ÷ 131072     		y = 0.597206115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574562072753906 × 2 - 1) × π
    0.149124145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.46848732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597206115722656 × 2 - 1) × π
    -0.194412231445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.610764038059135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46848732} λ = 0.46848732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610764038059135))-π/2
    2×atan(0.542935886882344)-π/2
    2×0.497403534913028-π/2
    0.994807069826056-1.57079632675     		φ = -0.57598926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46848732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.842346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57598926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.001754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75309 KachelY 78277 0.46848732 -0.57598926 26.842346 -33.001754
    Oben rechts KachelX + 1 75310 KachelY 78277 0.46853526 -0.57598926 26.845093 -33.001754
    Unten links KachelX 75309 KachelY + 1 78278 0.46848732 -0.57602946 26.842346 -33.004057
    Unten rechts KachelX + 1 75310 KachelY + 1 78278 0.46853526 -0.57602946 26.845093 -33.004057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57598926--0.57602946) × R
    4.02000000000458e-05 × 6371000     		dl = 256.114200000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57598926--0.57602946) × R
    4.02000000000458e-05 × 6371000     		dr = 256.114200000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46848732-0.46853526) × cos(-0.57598926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838653897871781 × 6371000     		do = 256.146487361502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46848732-0.46853526) × cos(-0.57602946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838632001673044 × 6371000     		du = 256.139799698799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57598926)-sin(-0.57602946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838653897871781-0.838632001673044)×R²
    abs(0.46853526-0.46848732)×2.1896198736715e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1896198736715e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1896198736715e-05×40589641000000     		ar = 65601.8962996122m²