Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75308 / 78276
↖ ↑ ↗
← S 32.999450°
E 26.839599°		 ← 256.15 m → S 32.999450°
E 26.842346°		 →
↑
256.18 m
↓
↑
256.18 m
↓
S 33.001754°
E 26.839599°		 ← 256.15 m →
65 620 m²		 S 33.001754°
E 26.842346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574558258056641 y=0.597202301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574558258056641 × 217)
    floor (0.574558258056641 × 131072)
    floor (75308.5)     		tx = 75308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597202301025391 × 217)
    floor (0.597202301025391 × 131072)
    floor (78276.5)     		ty = 78276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75308 / 78276 ti = "17/75308/78276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75308/78276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75308 ÷ 217
    75308 ÷ 131072     		x = 0.574554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78276 ÷ 217
    78276 ÷ 131072     		y = 0.597198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574554443359375 × 2 - 1) × π
    0.14910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46843938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.19439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.610716101159515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46843938} λ = 0.46843938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610716101159515))-π/2
    2×atan(0.542961914169283)-π/2
    2×0.497423636409341-π/2
    0.994847272818681-1.57079632675     		φ = -0.57594905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46843938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.839599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57594905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.999450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75308 KachelY 78276 0.46843938 -0.57594905 26.839599 -32.999450
    Oben rechts KachelX + 1 75309 KachelY 78276 0.46848732 -0.57594905 26.842346 -32.999450
    Unten links KachelX 75308 KachelY + 1 78277 0.46843938 -0.57598926 26.839599 -33.001754
    Unten rechts KachelX + 1 75309 KachelY + 1 78277 0.46848732 -0.57598926 26.842346 -33.001754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57594905--0.57598926) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dl = 256.177909999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57594905--0.57598926) × R
    4.0209999999985e-05 × 6371000     		dr = 256.177909999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46843938-0.46848732) × cos(-0.57594905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838675798161529 × 6371000     		do = 256.153176273408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46843938-0.46848732) × cos(-0.57598926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838653897871781 × 6371000     		du = 256.146487361205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57594905)-sin(-0.57598926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838675798161529-0.838653897871781)×R²
    abs(0.46848732-0.46843938)×2.19002897482445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19002897482445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19002897482445e-05×40589641000000     		ar = 65619.9285706513m²