Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75308 / 56132
↖ ↑ ↗
← N 24.996015°
E 26.839599°		 ← 276.82 m → N 24.996015°
E 26.842346°		 →
↑
276.76 m
↓
↑
276.76 m
↓
N 24.993527°
E 26.839599°		 ← 276.82 m →
76 612 m²		 N 24.993527°
E 26.842346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574558258056641 y=0.428256988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574558258056641 × 217)
    floor (0.574558258056641 × 131072)
    floor (75308.5)     		tx = 75308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428256988525391 × 217)
    floor (0.428256988525391 × 131072)
    floor (56132.5)     		ty = 56132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75308 / 56132 ti = "17/75308/56132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75308/56132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75308 ÷ 217
    75308 ÷ 131072     		x = 0.574554443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56132 ÷ 217
    56132 ÷ 131072     		y = 0.428253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574554443359375 × 2 - 1) × π
    0.14910888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46843938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    0.14349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.450798604027008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46843938} λ = 0.46843938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450798604027008))-π/2
    2×atan(1.56956514616023)-π/2
    2×1.00352955068155-π/2
    2.00705910136309-1.57079632675     		φ = 0.43626277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46843938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.839599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43626277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.996015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75308 KachelY 56132 0.46843938 0.43626277 26.839599 24.996015
    Oben rechts KachelX + 1 75309 KachelY 56132 0.46848732 0.43626277 26.842346 24.996015
    Unten links KachelX 75308 KachelY + 1 56133 0.46843938 0.43621933 26.839599 24.993527
    Unten rechts KachelX + 1 75309 KachelY + 1 56133 0.46848732 0.43621933 26.842346 24.993527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43626277-0.43621933) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dl = 276.756240000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43626277-0.43621933) × R
    4.34400000000057e-05 × 6371000     		dr = 276.756240000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46843938-0.46848732) × cos(0.43626277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906337174986248 × 6371000     		do = 276.818702359503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46843938-0.46848732) × cos(0.43621933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906355529930434 × 6371000     		du = 276.824308431914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43626277)-sin(0.43621933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906337174986248-0.906355529930434)×R²
    abs(0.46848732-0.46843938)×1.83549441868935e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83549441868935e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83549441868935e-05×40589641000000     		ar = 76612.0789964511m²