Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75307 / 57139
↖ ↑ ↗
← N 22.464340°
E 26.836853°		 ← 282.19 m → N 22.464340°
E 26.839599°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 22.461802°
E 26.836853°		 ← 282.20 m →
79 645 m²		 N 22.461802°
E 26.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574550628662109 y=0.435939788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574550628662109 × 217)
    floor (0.574550628662109 × 131072)
    floor (75307.5)     		tx = 75307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435939788818359 × 217)
    floor (0.435939788818359 × 131072)
    floor (57139.5)     		ty = 57139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75307 / 57139 ti = "17/75307/57139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75307/57139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75307 ÷ 217
    75307 ÷ 131072     		x = 0.574546813964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57139 ÷ 217
    57139 ÷ 131072     		y = 0.435935974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574546813964844 × 2 - 1) × π
    0.149093627929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.46839145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435935974121094 × 2 - 1) × π
    0.128128051757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.402526146109612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46839145} λ = 0.46839145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402526146109612))-π/2
    2×atan(1.49559802878373)-π/2
    2×0.981436513983451-π/2
    1.9628730279669-1.57079632675     		φ = 0.39207670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46839145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.836853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39207670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.464340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75307 KachelY 57139 0.46839145 0.39207670 26.836853 22.464340
    Oben rechts KachelX + 1 75308 KachelY 57139 0.46843938 0.39207670 26.839599 22.464340
    Unten links KachelX 75307 KachelY + 1 57140 0.46839145 0.39203240 26.836853 22.461802
    Unten rechts KachelX + 1 75308 KachelY + 1 57140 0.46843938 0.39203240 26.839599 22.461802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39207670-0.39203240) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39207670-0.39203240) × R
    4.42999999999971e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46839145-0.46843938) × cos(0.39207670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924117528724109 × 6371000     		do = 282.19040452995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46839145-0.46843938) × cos(0.39203240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924134455217337 × 6371000     		du = 282.195573238283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39207670)-sin(0.39203240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924117528724109-0.924134455217337)×R²
    abs(0.46843938-0.46839145)×1.69264932277091e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69264932277091e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69264932277091e-05×40589641000000     		ar = 79644.8228886444m²