Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75304 / 59720
↖ ↑ ↗
← N 15.771109°
E 26.828614°		 ← 293.87 m → N 15.771109°
E 26.831360°		 →
↑
293.89 m
↓
↑
293.89 m
↓
N 15.768466°
E 26.828614°		 ← 293.87 m →
86 366 m²		 N 15.768466°
E 26.831360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574527740478516 y=0.455631256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574527740478516 × 217)
    floor (0.574527740478516 × 131072)
    floor (75304.5)     		tx = 75304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455631256103516 × 217)
    floor (0.455631256103516 × 131072)
    floor (59720.5)     		ty = 59720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75304 / 59720 ti = "17/75304/59720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75304/59720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75304 ÷ 217
    75304 ÷ 131072     		x = 0.57452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59720 ÷ 217
    59720 ÷ 131072     		y = 0.45562744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57452392578125 × 2 - 1) × π
    0.1490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46824764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45562744140625 × 2 - 1) × π
    0.0887451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.278801008190247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46824764} λ = 0.46824764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.278801008190247))-π/2
    2×atan(1.32154434120259)-π/2
    2×0.923027054278799-π/2
    1.8460541085576-1.57079632675     		φ = 0.27525778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46824764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.828614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27525778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.771109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75304 KachelY 59720 0.46824764 0.27525778 26.828614 15.771109
    Oben rechts KachelX + 1 75305 KachelY 59720 0.46829557 0.27525778 26.831360 15.771109
    Unten links KachelX 75304 KachelY + 1 59721 0.46824764 0.27521165 26.828614 15.768466
    Unten rechts KachelX + 1 75305 KachelY + 1 59721 0.46829557 0.27521165 26.831360 15.768466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27525778-0.27521165) × R
    4.61300000000331e-05 × 6371000     		dl = 293.894230000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27525778-0.27521165) × R
    4.61300000000331e-05 × 6371000     		dr = 293.894230000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46824764-0.46829557) × cos(0.27525778) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.962355166282773 × 6371000     		do = 293.866727156935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46824764-0.46829557) × cos(0.27521165) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.962367703163194 × 6371000     		du = 293.87055544419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27525778)-sin(0.27521165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962355166282773-0.962367703163194)×R²
    abs(0.46829557-0.46824764)×1.25368804209103e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.25368804209103e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.25368804209103e-05×40589641000000     		ar = 86366.2980714897m²