Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75303 / 78279
↖ ↑ ↗
← S 33.006360°
E 26.825867°		 ← 256.13 m → S 33.006360°
E 26.828614°		 →
↑
256.11 m
↓
↑
256.11 m
↓
S 33.008664°
E 26.825867°		 ← 256.13 m →
65 598 m²		 S 33.008664°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574520111083984 y=0.597225189208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574520111083984 × 217)
    floor (0.574520111083984 × 131072)
    floor (75303.5)     		tx = 75303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597225189208984 × 217)
    floor (0.597225189208984 × 131072)
    floor (78279.5)     		ty = 78279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75303 / 78279 ti = "17/75303/78279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75303/78279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75303 ÷ 217
    75303 ÷ 131072     		x = 0.574516296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78279 ÷ 217
    78279 ÷ 131072     		y = 0.597221374511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574516296386719 × 2 - 1) × π
    0.149032592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.46819970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597221374511719 × 2 - 1) × π
    -0.194442749023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.610859911858376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46819970} λ = 0.46819970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.610859911858376))-π/2
    2×atan(0.54288383605132)-π/2
    2×0.497363333494924-π/2
    0.994726666989847-1.57079632675     		φ = -0.57606966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46819970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.825867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57606966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.006360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75303 KachelY 78279 0.46819970 -0.57606966 26.825867 -33.006360
    Oben rechts KachelX + 1 75304 KachelY 78279 0.46824764 -0.57606966 26.828614 -33.006360
    Unten links KachelX 75303 KachelY + 1 78280 0.46819970 -0.57610986 26.825867 -33.008664
    Unten rechts KachelX + 1 75304 KachelY + 1 78280 0.46824764 -0.57610986 26.828614 -33.008664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57606966--0.57610986) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dl = 256.114199999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57606966--0.57610986) × R
    4.01999999999347e-05 × 6371000     		dr = 256.114199999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46819970-0.46824764) × cos(-0.57606966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838610104119044 × 6371000     		do = 256.133111622165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46819970-0.46824764) × cos(-0.57610986) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838588205209817 × 6371000     		du = 256.126423131609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57606966)-sin(-0.57610986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838610104119044-0.838588205209817)×R²
    abs(0.46824764-0.46819970)×2.18989092269917e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.18989092269917e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.18989092269917e-05×40589641000000     		ar = 65598.4704765633m²